2011-2012学年甘肃甘谷一中宏志班选拔考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算的结果是（     ）

A．2            B．     C．1          D．

2. 难度：中等

如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（     ）

A．       B．     C．       D．

3. 难度：中等

二次函数的图象如何移动就得到的图象（      ）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

4. 难度：中等

设、是方程的两个实根，若恰有成立，则的值为（　   　）

A．         B．或         C．          D．或 1

5. 难度：中等

已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是         （      ）

A、平均数是3    B、中位数是4     C、极差是4   D、方差是2

6. 难度：中等

如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，

则△ABC的面积为        （     ）

A．3              B．4             C．5              D．6

7. 难度：中等

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（     ）

 

A．3            B．4       C．5            D．6

8. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（    ）

A．30°     B．45°     C．60°     D．67.5°

9. 难度：中等

如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 （   ）

A．       B．      C．     D．

10. 难度：中等

如图为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0   ②2a+b=0  ③a+b+c＞0  ④当﹣1＜x＜3时，y＞0

其中正确的个数为（　　）

A．1              B．2           C．3            D．4

二、填空题

11. 难度：中等

关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是          .

12. 难度：中等

对正实数作定义，若，则的值是________．

13. 难度：中等

若为实数，且=－2，则的值为________________。

14. 难度：中等

如图：AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB的长分别是一元二次方程-7+12=0的两根，则=_________。

15. 难度：中等

如图7所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是                .

16. 难度：中等

如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为          。

17. 难度：中等

若，则=         ．

18. 难度：中等

如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是       .

19. 难度：中等

若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是____________．

20. 难度：中等

求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S﹣S=2²⁰¹³﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值为         

三、解答题

21. 难度：中等

先化简再计算：

，其中x是一元二次方程的正数根.

22. 难度：中等

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，，求BC和BF的长．

23. 难度：中等

甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。

（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。

24. 难度：中等

在我县举行的“建县2700年”唱红歌比赛活动中，共有40支参赛队。有关部门对本次活动的获奖情况进行了统计，并根据收集的数据绘制了图6、图7两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下面的问题：

1、获一、二、三等奖各有多少参赛队？

2、在答题卷上将统计图图6补充完整。

3、计算统计图图7中“没获将”部分所对应的圆心角的度数

4、求本次活动的获奖概率。

图6

25. 难度：中等

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：

AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝．

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)、B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；

(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值．