2013届福建泉州一中高二下学期期末理科能力测试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（      ）

A．       B．       C．       D．无穷多个

2. 难度：中等

椭圆 是参数的离心率是（      ）

A．          B．           C．              D．

3. 难度：中等

下列求导运算正确的是（      ）

A．            B．  

C．             D．

4. 难度：中等

已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：

	0	1	2	3	4
	2.2	4.3	4.5	4.8	6.7

且回归方程是的预测值为（      ）

A．8.1                  B．8.2              C．8.3              D．8.4

5. 难度：中等

若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为（    ）

A．        B．        C．        D． 

6. 难度：中等

若，且的展开式中第项的二项式系数是，则展开式中所有项系数之和为（      ）

 A．            B．             C．              D．

7. 难度：中等

某校在模块考试中约有人参加考试，其数学考试成绩（试卷满分分），统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于分的学生人数约为（      ）

A．                B．             C．             D．

8. 难度：中等

若双曲线的右焦点与圆（极坐标方程）的圆心重合，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（      ）

A．                  B．            C．            D．

9. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为（投篮一次得分只能分、分、分或分），其中，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最大值为（      ）

A．               B．              C．              D． 

10. 难度：中等

的展开式中，的系数可以表示从个不同物体中选出个的方法总数.下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为克的方法总数的选项是（      ）

A．      

B．

C．

D．

二、填空题

11. 难度：中等

现质检局要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将袋牛奶按，，…，进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的袋牛奶的编号                           

（下面摘取了随机数表第行至第行）

84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76

63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79

33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54

12. 难度：中等

电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是               。

13. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

有，则运用归纳推理得到第11行第2个数（从左往右数）为         ．

14. 难度：中等

某同学由于求不出积分的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分.他用计算机分别产生个在上的均匀随机数和个在上的均匀随机数，其数据记录为如下表的前两行.

x	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
y	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnx	0.92	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为               .

15. 难度：中等

对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点对称：

②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数，则，

其中正确命题的序号为__           _____(把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题

16. 难度：中等

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：,若点为曲线上的动点，其中参数．

（1）试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；

（2）求点到直线距离的最大值．

17. 难度：中等

泉州市组织群众性登清源山健身活动,招募了名师生志愿者,现将所有志愿者按年龄情况分为等六组,其频率分布直方图如下图所示: 已知之间的志愿者共人.

（1）求和之间的志愿者人数;

（2）已知和之间各有名数学教师，现从这两个组中各选取人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有名数学教师的概率?

（3）组织者从之间的志愿者(其中共有名女教师，其余全为男教师)中随机选取名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列和数学期望.

18. 难度：中等

抛物线的准线与轴交于，焦点为，若椭圆以、为焦点、

且离心率为。

（1）当时求椭圆的方程；

（2）若抛物线与直线及轴所围成的图形的面积为，求抛物线和直线的方程

19. 难度：中等

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）若几何体的体积为，求实数的值；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取个整点，求这些整点中恰有个整点在区域内的概率；

（2）在区域内任取个点，记这个点在区域内的个数为，求的分布列，数学期望及方差．

21. 难度：中等

已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的极小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

（3）设,的导数为,令

求证：