2013届江苏省江宁分校高二下学期期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则_________.

2. 难度：中等

如果复数是实数，则实数_________.

3. 难度：中等

已知，则的值为_________.

4. 难度：中等

若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_________.

5. 难度：中等

已知函数，则的值为_________.

6. 难度：中等

执行下边的程序框图，若，则输出的_________.

7. 难度：中等

等比数列的各项均为正数，，前三项的和为21，则__________.

8. 难度：中等

已知实数满足，若在处取得最小值，则此时__________.

9. 难度：中等

在R上定义运算⊙：⊙，则满足⊙的实数的取值范围是__________.

10. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为__________.

11. 难度：中等

已知函数，则该函数的值域为__________.

12. 难度：中等

 把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为_________.

13. 难度：中等

 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S，则S=__________.

二、解答题

14. 难度：中等

（本小题满分14分）

在△ABC中，AB=，BC=1，.

（1）求的值；（2）求的值.

15. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求证：AE∥平面BFD.

16. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.

（1）写出体积V关于的函数关系式；

（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

17. 难度：中等

 （本小题满分16分）

已知函数的定义域为（0，），且，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别为M、N.

（1）求的值；

（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

18. 难度：中等

（本小题满分16分）

已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

19. 难度：中等

 （本小题满分16分）

已知等差数列中，，令，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）是否存在正整数，且，使得，，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

20. 难度：中等

A. ［选修4－1：几何证明选讲］（本小题满分10分）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC=AB，BC交⊙O于点D.

已知BC=4，AD=6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长.

21. 难度：中等

B. ［选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分10分）

已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A.

22. 难度：中等

C. ［选修4－4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

已知直线的参数方程：（为参数）和圆C的极坐标方程：，判断直线和⊙C的位置关系.

23. 难度：中等

D. ［选修4－5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知是正数，证明：.

24. 难度：中等

（本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值.

25. 难度：中等

 (本小题满分10分)

   已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑

    球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球.

   （1）求取出的4个球均为黑球的概率；

   （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

   （3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列，并求其数学期望E（）.