2013届浙江省台州市高二下学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，与复数（为虚数单位）对应的点位于

A. 第一象限                     B. 第二象限

C. 第三象限                     D. 第四象限

2. 难度：中等

6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是

A. 取到产品的件数               B. 取到正品的件数

C. 取到正品的概率               D. 取到次品的概率

3. 难度：中等

某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。你认为以上推理的

 A. 大前提错误                  B. 小前提错误

 C. 推理形式错误                D. 结论正确

4. 难度：中等

给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有

A. 8本                          B. 9本

C. 12本                         D. 18本

5. 难度：中等

的展开式中的第6项是

A.                         B.

C.                       D.

6. 难度：中等

有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为

A.                           B.  

C.                            D.  

7. 难度：中等

已知函数，则的导函数

A.              B.

C.              D.

8. 难度：中等

已知，，～。若，则的值为

A.                          B.

C.                       D.

9. 难度：中等

学校要从10个同学中选出6个同学参加学习座谈会，其中甲、乙两位同学不能同时参加，则不同的选法共有

A. 140                          B. 112

C. 98                           D. 84

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是

A.            B.

C.                 D.

11. 难度：中等

现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

②由“若数列为等差数列，则有成立”类比 “若数列为等比数列，则有成立”，则得出的两个结论

A. 只有①正确                   B. 只有②正确

C. 都正确                       D. 都不正确

12. 难度：中等

在的展开式中，含有但不含有的项的系数之和为

A.                          B.

C.                         D.

13. 难度：中等

已知一组曲线，其中为2，4，6，8中的任意一个，为1，3，5，7中的任意一个。现从这些曲线中任取两条，它们在处的切线相互平行的组数为

A. 9                                B. 10

C. 12                               D. 14

14. 难度：中等

已知函数是定义在R上的奇函数，且。当时，有成立，则不等式的解集是

A.               B.

C.                     D.

二、填空题

15. 难度：中等

已知，若复数（为虚数单位）为实数，则的值为    。

16. 难度：中等

已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围为      。

17. 难度：中等

的展开式中项的系数是15，则的值为      。

18. 难度：中等

将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有     种（用数字作答）。

19. 难度：中等

对于三次函数，定义是函数的导函数。若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心。根据这一发现，对于函数，

则的值为     。

20. 难度：中等

正四面体（即四条棱均相等的三棱锥）的4个面上分别写有数字1，2，3，4，将3个这样大小相同、质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上。记为与桌面接触的3个面上的3个数字中最大值与最小值之差的绝对值，则随机变量的期望等于     。

三、解答题

21. 难度：中等

已知复数（为虚数单位）

（Ⅰ）把复数的共轭复数记作，若，求复数；

（Ⅱ）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值。

22. 难度：中等

已知数列满足，且。

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。

23. 难度：中等

用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数。

（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。

24. 难度：中等

甲箱中放有个红球与个白球（，且），乙箱中放有2个红球、1个白球与1个黑球。从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球。

（Ⅰ）记取出的3个球颜色全不相同的概率为，求当取得最大值时的，的值；

（Ⅱ）当时，求取出的3个球中红球个数的期望。

25. 难度：中等

已知函数，。

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅲ）试判断方程（其中）是否有实数解？并说明理由。