2012-2013学年吉林省高三上学期阶段验收数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知M={|=(1,2)+(3,4)，∈R}，N={|=(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，则

MN=                                                             （    ）

A．{(1,1)}            B．{(1,1),(-2,-2)}                  C．{(-2,-2)}  D．φ

2. 难度：中等

(理) 等于                                                      （    ）

A．             B．        C．         D．

3. 难度：中等

 (文)函数y=(x+1)²(x-1)在x=1处的导数等于                                （    ）

    A．1              B．2              C．3              D．4

4. 难度：中等

已知f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x-)，则下列结论中正确的是（    ）

    A．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1

    B．函数y=f(x)·g(x)的对称中心是(,0)，∈Z

    C．当x∈[-,]时，函数y=f(x)·g(x)单调递增

    D．将f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象

5. 难度：中等

已知当x∈R时，函数y=f(x)满足f(2.1+x)=f(1.1+x) + ，且f(1)=1，则f(100)

    的值为                                                            （    ）

    A．            B．            C．34             D．

6. 难度：中等

设四面体的四个面的面积分别为S₁,S₂,S₃,S₄，它们的最大值为S，记，

   则有                                                                 （    ）

    A．2<≤4        B．3<≤4        C．2.5<≤4.5    D．3.5<≤5.5

7. 难度：中等

已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心   到平面ABC的距离为                                （    ）

  A．1                B．           C．            D．2

8. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为           （    ）

    A．32             B．0.2            C．40             D．0.25

9. 难度：中等

函数y=x³-2ax+a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是               （    ）

    A．(0,3)          B．(-∞,3)       C．(0,+∞)       D．(0, )

10. 难度：中等

(理)已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆 + y²=1(m>1)和双曲线 - y²=1（n>0），P是它们的一个交点，则ΔF₁PF₂的形状是                                                        （    ）

A．锐角三角形     B．直角三角形     C．钝有三角形    D．随m、n变化而变化

11. 难度：中等

(文)已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆+ y²=1和双曲线- y²=1，P是它们的一个交点，则ΔF₁PF₂的形状是                                          （    ）

    A．锐角三角形     B．直角三角形     C．钝有三角形     D．等腰三角形

12. 难度：中等

在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平

均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3

表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)，

虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是                          （    ）

A.                   B.                C.                D.

13. 难度：中等

有20张卡片分别写着数字1,2,…,19,20，将它们放入一个盒中，有4个人从中各抽取一张卡片，取到两个较小数字的二人在同一组，取得两个较大数字的二人在同一

组，若其中二人分别抽到5和14，则此二人在同一组的概率等于           （    ）

A．                 B．            C．            D．

14. 难度：中等

如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n项和为S_n，则S₁₉等于 （    ）

A．129                B．172

C．228                D．283

二、填空题

15. 难度：中等

抛物线y=ax²(a≠0)的准线方程为__________________．

16. 难度：中等

对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）                            ．

17. 难度：中等

已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,

…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N^*)，则a=_______________．

18. 难度：中等

在平行六面体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的平行六

面体的棱的条数可能是_________________(填上所有可能结果)．

三、解答题

19. 难度：中等

（本题满分12分）

已知函数y=sinωx•cosωx(ω>0) (ω>0)的周期为 ,　

（I） 求ω 的值；

（II） 当0≤x≤ 时，求函数的最大值和最小值及相应的x的值．

20. 难度：中等

（本题满分12分）

质点A位于数轴x=0处，质点B位于x=2处．这两个质点每隔1秒钟都向左或

向右平移一个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为.

（I）求3秒后，质点A在点x=1处的概率；

（II）求2秒后，质点A、B同时在x=2处的概率．

21. 难度：中等

（本题满分12分）

如图，已知直平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．

（I）求证：A₁D⊥平面BDE；

（II）求二面角B―DE―C的大小；

（III）求点B到平面A₁DE的距离    

22. 难度：中等

某汽车销售公司为促销采取了较灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款方案购车：

方案1：分3次付清，购买后4个月第一次付款，再过4个月第二次付款，再过4个月第三次付款．方案2：分12次付清，购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款，……购买后12个月第十二次付款．

方案2：现规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计息，试比较以上两种方案的哪一种方案付款总数较少？(参考数据：1.008³=1.024，1.008⁴=1.033，1.008¹¹=1.092，1.008¹²=1.1)

23. 难度：中等

（理）如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

   （1）求点M的轨迹方程；

   （2）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为锐角三角形时t的取值范围．

24. 难度：中等

（文）已知:函数f(x)=  (a>1) 

   （1） 证明：函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数；

   （2）证明方程f(x)=0没有负根．

25. 难度：中等

（本题满分14分）

（理）已知数列{a_n}的前n项和，且=1，

.

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xⁿ⁺¹在(0,+∞)上是凹函数，试判断b_n与b_n+1的大小；

（III）求证：≤b_n<2.

26. 难度：中等

（本题满分14分）

(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

（I）求点M的轨迹方程；

（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为锐角三角形时t的取值范围．