2012-2013学年四川省高三10月月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，U＝A∪B，则∁_U(A∩B)的元素个数为

A．1个              B．2个     C．3个              D．4个

2. 难度：中等

 复数z满足z = ，则复数z对应的点在

A．第一象限           B．第二象限        C. 第三象限        D. 第四象限

3. 难度：中等

已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝

A. －               B.            C. －              D.

4. 难度：中等

设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝

A．3     B．2        C．1       D．0

5. 难度：中等

已知p：x²－x< 0，那么命题p的一个必要不充分条件是

A．0 < x < 1                    B．－1< x < 1

C.  < x <                  D.   < x < 2

6. 难度：中等

如图，是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为

A.       B.        C.          D.

7. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于

A.                B．3+2

C．2              D．6+2

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₉＝－36，S₁₃＝－104，等比数列{b_n}中，b₅＝a₅，b₇＝a₇，则b₆的值为

A．±4          B．－4       C．4            D．无法确定

9. 难度：中等

从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为

A．85　　　　　B．56          C．49             D．28

10. 难度：中等

设函数f(x)在R上可导,其导函数为f ^/(x),且函数y = (1−x) f ^/(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)          

B．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)       

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2)             

D．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)

11. 难度：中等

 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

A.                B.              C.                  D.

12. 难度：中等

 对实数a和b，定义运算“⊕”：a⊕b＝设函数f(x)＝(x²－2)⊕(x－x²)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

A．(－∞，－2]∪            B．(－∞，－2]∪

C. ∪              D. ∪

二、填空题

13. 难度：中等

在⁶的二项展开式中，常数项等于 _________ .

14. 难度：中等

变量x，y满足条件：，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为____.

15. 难度：中等

已知函数f(x) = ，若a < b，且f(a) = f(b)，则a + 2b的取值范围是________ .

16. 难度：中等

给出以下五个命题：

   ①，若，则或的否命题是假命题；

   ②函数的最小值为2；

   ③若函数的图象关于点(1,0)对称，则的值为－3；

   ④若，则函数是以4为周期的周期函数；

   ⑤若(1+ x)¹⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² +… + a₁₀x¹⁰,则 a₀ +a₁ + 2a₂ + 3a₃ + … + 10a₁₀=10×2⁹．

    其中真命题的序号是___________.

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

函数f(x) = sinωxcosωx + sin²ωx +  ,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ） 若A为△ABC的内角，且f  = ，求A的值.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中， AC = BC = AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．

（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A₁−BD−C₁的大小．

19. 难度：中等

（本小题满分12分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100].

(Ⅰ)求图中 x 的值；

(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知 f(x) =  (a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集为{x | −2≤x≤1}.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若≤ k 恒成立，求 k 的取值范围.

21. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．

(Ⅰ) 求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设 b_n= log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n，求的前n项和T_n ；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使  ≥ (7 − 2n)T_n恒成立的实数 k 的取值范围．

22. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知函数．

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数g(x)=x³ + x²在区间上总存在极值？

（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，

使得成立，试求实数的取值范围．