2014届广东实验中学高二上学期期中理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法错误的是（　　）

A．棱柱的两个底面互相平行           B．圆台与棱台统称为台体

C．棱柱的侧棱垂直于底面             D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形

2. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)．

A．①②         B．①③         C．①④         D．②④

3. 难度：中等

若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是(　　)．

A．若m∥α，n∥α，则m∥n          B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

C．若m∥β，α∥β，则m∥α        D．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α

4. 难度：中等

如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（    ）

A．           B．      C．        D．2

5. 难度：中等

已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④ AB⊥BC. 其中正确的(    )

                            A．①②③       B．①②④

C．②③④                   D．①②③④

6. 难度：中等

在一个直径为16cm的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm，则球的半径是(    )

A．8cm        B．4cm          C．4cm     D．4cm

7. 难度：中等

如图，已知二面角α-l-β为120°，AB，CD，AB⊥于A，CD⊥于D ，且AB=AD=CD=1,则BC=(     )

A．             B．        C．1            D．2

8. 难度：中等

如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（   ）

A．点到平面的距离

B．直线与平面所成的角

C．三棱锥的体积

D．二面角的大小

二、填空题

9. 难度：中等

点A(x,2，3)与点B(-1，y，z)关于坐标平面yOz对称，则x=_____,y=______,z=______.

10. 难度：中等

点P和不共线三点A，B，C四点共面，且对于空间任一点O，都有，则λ=_____________.

11. 难度：中等

已知：直线：2x+3y-1=0，：Ax-6y+C=0，当A,C满足条件：__________时,//.

12. 难度：中等

已知，且//(),则k=______.

13. 难度：中等

已知直线l的斜率k，则直线l的倾斜角的范围是______________.

三、解答题

14. 难度：中等

（本小题满分11分）

已知直线m过点（-1,2），且垂直于： x+2y+2=0

（1）求直线m；

（2）求直线m和直线l的交点。

15. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AD=1,BC=2，

∠C=60°，将该梯形绕着AB所在的直线为轴旋转一周，求该旋转体的表面积和体积。

16. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为A₁D₁、A₁B₁、BC的中点，

（1）求证：GC₁//面AEF

（2）求：直线GC₁到面AEF的距离。

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，四棱锥中,底面,四边形中, ,, ,,E为中点.

（1）求证：CD⊥面PAC；（2）求:异面直线BE与AC所成角的余弦值；

18. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在对角线A₁C₁上，记二面角P-AB-C为α，二面角P-BC-A为β。

(1) 当A₁P：PC₁=1：3时，求cos（α+β）的大小。

（2）点P是线段A₁C₁(包括端点)上的一个动点，问：当点P在什么位置时，α+β有最小值？

19. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；

（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

四、填空题

20. 难度：中等

已知，如图所示的正方体的棱长为4，E、F分别为A₁D₁、AA₁的中点，过C₁、E、F的截面的周长为___________________.

21. 难度：中等

在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球。无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm³.