2012-2013学年湖南省元月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若则的值是 (  )

A．1                B．0                C．              D．

2. 难度：简单

全集且则（ ）

A．          B．            C．            D．

3. 难度：简单

命题“ 的否定是（  ）

A．               B．

C．               D．

4. 难度：简单

给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，

同时具有性质①、②的是（      ）

A．y = sin(2x－)                         B．y = sin(+)

C．y = sin(2x+)                         D．y = sin|x|

5. 难度：简单

设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为

A．是等比数列。

B．或是等比数列。

C．和均是等比数列。

D．和均是等比数列，且公比相同。

6. 难度：简单

已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（  ）

A．       B．      C．             D．1

7. 难度：简单

设m>1，在约束条件目标函数z=x+my的最大值大于2，则m的取值范围为

A．       B．     C．（1，3）          D．

8. 难度：简单

定义域为[]的函数图像的两个端点为A、B，M(x，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立， 则称函数在[]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为(     )

A．[0，+∞)          B．

C．    D．

二、填空题

9. 难度：简单

在极坐标系中，点与点关于直线对称         ．

10. 难度：简单

如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC 的延长线上，AD是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为           ．

11. 难度：简单

已知：x+2y+3z=1,则的最小值是             .

12. 难度：简单

如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是     .

13. 难度：简单

已知向量, ，其中，且，则向量和的夹角是   .

14. 难度：简单

已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|P F₁|=3，则|PF₂|的值为      .

15. 难度：简单

已知曲线交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为   ．

16. 难度：简单

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，……．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________.

三、解答题

17. 难度：简单

(本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知数列满足条件：,

（1）判断数列是否为等比数列；  

（2）若，令, 记

证明： 

19. 难度：简单

(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD中，PB底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角；

(2)求证：PC∥平面EBD；

(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

20. 难度：简单

(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

21. 难度：简单

(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围。

22. 难度：简单

（本小题满分13分）已知函数，．

（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；

（Ⅱ）求证: 当时，有；

（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.