2012-2013学年甘肃省高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数 

A．               B．              C．         D．

2. 难度：简单

 的零点个数为

A．3                B．2                C．1                D．0

3. 难度：简单

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量.下列命题中真命题是

A．若n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列;

B．若n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列;

C．若n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列;

D．若n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列.

4. 难度：简单

如右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A．                        B．

C．                        D．

5. 难度：简单

已知数列满足，则数列的前10项和为

A．       B．       C．        D．

6. 难度：简单

某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

	认为作业多	认为作业不多	总数
喜欢玩电脑游戏	18	9	27
不喜欢玩电脑游戏	8	15	23
总数	26	24	50

算得.

	0.050	0.025	0.010	0.001
	3.841	5.024	6.635	10.828

附表：

参照附表，得到的正确结论是

A.有的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”;

B.有的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”;

C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”;

D.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”.

7. 难度：简单

若曲线的焦点F恰好是曲线的右焦点，且交点的连线过点F，则曲线的离心率为

A．          B．           C．        D．

8. 难度：简单

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

A．              B．              C．               D．

9. 难度：简单

函数的图像大致是

10. 难度：简单

已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则

A．6                B．              C．18               D．0

11. 难度：简单

在中，设,点在边上且，则

A．                        B．

C．                       D．

12. 难度：简单

点是曲线上的动点，曲线在点处的切线与轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个结论：①;②△的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得△为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是

A．1                B．2                C．3                D．0

二、填空题

13. 难度：简单

已知随机变量服从正态分布，且，则          .

14. 难度：简单

已知不等式组表示的平面区域为M，直线与曲线所围成的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为          .

15. 难度：简单

 对大于或等于2的自然数m的3次方幂有如下分解方式：,,,……

则（1）的分解中最小的数是                 (2分)；

（2）按以上规律，第个式子可以表示为                (3分).

16. 难度：简单

正三棱锥中，,的中点分别为，且，则正三棱锥外接球的表面积为                    .

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为不等式对于一切实数恒成立．

（Ⅰ）求角C的最大值.

（Ⅱ）当角C取得最大值时，若，求的最小值.

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	(0,15]	4	0.1
第二组	(15,30]	12	0.3
第三组	(30,45]	8	0.2
第四组	(45,60]	8	0.2
第三组	(60,75]	4	0.1
第四组	(75,90)	4	0.1

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.

（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求该建筑物的体积.

20. 难度：简单

（本小题满分12分）

如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.

（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.

21. 难度：简单

（本小题满分12分）

设定义在区间上的函数的图象为，是上的任意一点，为坐标原点，设向量=，，，当实数λ满足x="λ" x₁+(1－λ) x₂时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指 “恒成立”，其中是一个确定的正数．

（1）求证：三点共线;

（2）设函数在区间[0，1]上可在标准下线性近似，求的取值范围；

（3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似.

（参考数据：=2.718，）

22. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，

弦，、相交于点，为上一点，且·.

（1）求证：；

（2）求证：·=·.

23. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

24. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是

是参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）求的取值范围，使得，没有公共点.