2012-2013学年辽宁省沈阳市高三高考领航考试（二）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设则复数为实数的充要条件是（  ）

A．      B．      C．      D．

2. 难度：简单

若，则等于（　　）

A．              B．             C．               D．

3. 难度：简单

若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为（   ）

A．         B．        C．         D．

4. 难度：简单

已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）

A．             B．             C．               D．

5. 难度：简单

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β， AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝ (   )

（A）2∶1             （B）3∶1

（C）3∶2             （D）4∶3

6. 难度：中等

与向量的夹角相等，且模为1的向量是  (    )

A．                            B．或

C．                         D．或

7. 难度：中等

如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（    ）

A．和都是锐角三角形

B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

8. 难度：简单

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（    ）

A．f（0）＋f（2）<2f（1）                 B．f（0）＋f（2）£2f（1）

C． f（0）＋f（2）³2f（1）                D．f（0）＋f（2）>2f（1）

9. 难度：简单

过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 (     )

A.           B.           C.            D.

10. 难度：中等

高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（   ）

A．1800             B．3600             C．4320             D．5040

11. 难度：简单

为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（  ）

A．20               B．30               C．40               D．50

12. 难度：简单

关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同实根；

其中假命题的个数是（  ）

A．0                B．1                C．2                D．3

二、填空题

13. 难度：简单

若集合，则A∩B等于­­        

14. 难度：简单

已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿

15. 难度：简单

若的展开式中的系数是80，则实数a的值是     　

16. 难度：简单

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是        

三、解答题

17. 难度：简单

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

18. 难度：简单

已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

19. 难度：简单

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

20. 难度：简单

已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，

（1）若是大于的正整数，求证：；

（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；

（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

21. 难度：简单

已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

22. 难度：简单

如图，的外接圆的切线与的延长线交于点，的平分线与交于点D.

(1)求证：

(2)若是的外接圆的直径，且，＝1.求长.

23. 难度：简单

以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：，过极点的直线

（且是参数）交曲线C于两点0，A，令OA的中点为M.

(1)求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.

(2)当时，求M点的直角坐标.

24. 难度：简单

关于的不等式，其中是实参数.

（1）当时，解上面的不等式.

(2)若，上面的不等式均成立，求实数的范围.