2014届北京市西城区高二上学期期末考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

在直角坐标系xOy中，原点到直线的距离为（   ）

A．             B．              C．5                D．3

2. 难度：简单

若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（   ）

A．1                B．2                C．             D．3

3. 难度：简单

已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（   ）

A．            B．             C．              D．

4. 难度：简单

设函数的导函数为，则等于（   ）

A．2                B．1                C．0                D．－1

5. 难度：简单

设x，y∈R，则“x＜0且y＜0”是“”的（   ）

A．充分而不必要条件                      B．必要而不充分条件

C．既不充分也不必要条件                  D．充分必要条件

6. 难度：简单

已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：

命题p：若a∥,a⊥，则⊥；

命题q：若a∥, a∥,则∥。

那么下列判断正确的是（   ）

A．p为假            B．为假          C．p∧q为真         D．p∨q为真

7. 难度：简单

函数的值域是（   ）

A．[0，2]            B．[0，]           C．[－1，2]          D．[－1，]

8. 难度：简单

已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（   ）

A．当x=1时，存在某个位置，使得AB⊥CD

B．当x=时，存在某个位置，使得AB⊥CD

C．当x=4时，存在某个位置，使得AB⊥CD

D．x＞0时，都不存在某个位置，使得AB⊥CD

二、填空题

9. 难度：简单

命题“x∈R，”的否定是                         。

10. 难度：简单

设a，b∈R，若直线与直线垂直，则实数a=        。

11. 难度：简单

下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于          。

12. 难度：简单

过点（3，）且与圆相切的直线方程是                    。

13. 难度：简单

设函数的导函数，则不等式的解集为             。

14. 难度：简单

设点F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，P为C上一点，若△PF₁F₂的面积为6，则=                。

三、解答题

15. 难度：简单

（本小题满分13分）

设函数的导函数为，且。

（Ⅰ）求函数的图象在x=0处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值。

16. 难度：简单

（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝CC₁，M为AB的中点。

（Ⅰ）求证：BC₁∥平面MA₁C；

（Ⅱ）求证：AC₁⊥平面A₁BC。

17. 难度：简单

（本小题满分13分）

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且

，求直线l的方程。

18. 难度：简单

（本小题满分13分）

设函数，其中，且a≠0.

（Ⅰ）当a=2时，求函数在区间[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）求函数的单调区间。

19. 难度：简单

（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P－ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O为AC的中点。

（Ⅰ）求证：BO⊥PA；

（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由。

20. 难度：简单

（本小题满分14分）

已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。记动点P的轨迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。