2014届吉林省高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

命题:“x∈R,”的否定是(    )

A．x∈R,                 B．x∈R,

C．x∈R,                  D．x∈R,

2. 难度：简单

 当1，2，3，4，5，6时，比较和的大小并猜想（  ）

A．时，                    B．时，

C．时，                    D．时，

3. 难度：简单

命题甲：双曲线C的渐近线方程为y=±x；命题乙：双曲线C的方程为=1.那么甲是乙的(    )

A．充要条件                             B．充分不必要条件

C．必要不充分条件                        D．不充分不必要条件

4. 难度：简单

如下图是函数的大致图象，则= （   ）

A．              B．              C．               D．

5. 难度：简单

下列方程的曲线关于y轴对称的是（  ）

A．x²－x＋y²＝1                          B．x²y＋xy²＝1

C．x²－y²＝1                             D．x－y="1"

6. 难度：简单

若，则的解集为  (    )

A．          B．  C．          D．

7. 难度：简单

设a、b、c都是正数，则、、三个数 （  ）

A．都大于2                              B．都小于2

C．至少有一个大于2                      D．至少有一个不小于2

8. 难度：简单

方程x³－6x²+9x－10=0的实根个数是（   ）

A．3                B．2                C．1                D．0

9. 难度：简单

用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N^*，n>1)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1时，左边增加的项数是 (　　)

A．2^k               B．2^k－1             C．             D．2^k＋1

10. 难度：简单

设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于（  ）

A．48/5             B．36/5             C．16               D．48/5或16

11. 难度：简单

若点P是曲线y=上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离是      (    )

A．             B．1                C．             D．

12. 难度：简单

下列四个命题中不正确的是 （  ）

A．若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分

B．设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分

C．已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆

D．已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线

二、填空题

13. 难度：简单

定积分=              

14. 难度：简单

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V＝________.

15. 难度：简单

经计算，发现下列不等式都是正确的：根据以上规律，试写出一个对正整数成立的条件不等式        。

16. 难度：简单

已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|＝4|PF₂|，则双曲线离心率e的最大值为________．

三、解答题

17. 难度：简单

（满分10分）（Ⅰ） 设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，求证为定值并求出此定值；

（Ⅱ）设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，利用（Ⅰ）的结论直接写出的值。（不必写出推理过程）

18. 难度：简单

(满分12分)已知：正方体中，棱长，、分别为、的中点，、是、的中点，

（1）求证：//平面；

（2）求：到平面的距离。

19. 难度：简单

(满分12分)设函数。

（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；

（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

20. 难度：简单

(满分12分)已知点，直线： 交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且 证明直线AB必过一定点，并求出该定点．

21. 难度：简单

（满分12分）已知点P_n(a_n，b_n)满足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝ (n∈N^*)且点P₁的坐标为(1，－1)．(1)求过点P₁，P₂的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在(1)中的直线l上．

22. 难度：简单

(满分12分)已知函数．（Ⅰ） 求在上的最小值；（Ⅱ） 若存在（是常数，＝2．71828）使不等式成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ） 证明对一切都有成立．