2012-2013学年山西省高三3月月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数是纯虚数，则的值为（   ）

A．              B．             C．               D．

2. 难度：简单

对于集合，定义：且，，设＝，，则=（   ）

A．（，0]                             B．[，0)

C．                      D．

3. 难度：简单

如图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（   ）

A．11               B．10               C．8                D．7

4. 难度：简单

设甲：函数的值域为，乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（   ）

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充分必要条件                          D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根，则的值是（   ）

A．              B．               C．               D．

6. 难度：简单

已知和分别是双曲线（，）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为（   ）

A．          B．           C．2                D．

7. 难度：简单

若当时，函数取得最小值，则函数是（   ）

A．奇函数且图像关于点对称          B．偶函数且图像关于点对称

C．奇函数且图像关于直线对称         D．偶函数且图像关于点对称

8. 难度：简单

过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（　　）

A．16条            B．17条             C．32条             D．34条

9. 难度：简单

在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（   ）

A．     B．      C．      D．

10. 难度：简单

已知为上的可导函数，且，均有，则有（  ）

A．

B．

C．

D．

11. 难度：简单

在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（   ）

A．                    B． C．   D．

二、填空题

12. 难度：简单

已知不等式组表示的平面区域为，直线与曲线所围成的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为          .

13. 难度：简单

对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：

            

           

根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为       .

14. 难度：简单

抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是      ．

15. 难度：简单

给出以下四个命题：

① 若，则；

② 已知直线与函数的图像分别交于点，则的最大值为；

③ 若数列为单调递增数列，则取值范围是；

④ 已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12．       

其中正确命题的序号为            ．

三、解答题

16. 难度：简单

已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。

17. 难度：简单

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	(0,15]	4	0.1
第二组	(15,30]	12	0.3
第三组	(30,45]	8	0.2
第四组	(45,60]	8	0.2
第三组	(60,75]	4	0.1
第四组	(75,90)	4	0.1

（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．

18. 难度：简单

如图，四边形中，为正三角形，，，与交于点．将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为，且点在平面内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

19. 难度：简单

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.

（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

20. 难度：简单

已知函数,其中.

（I）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

（II）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

21. 难度：简单

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．

（I）求曲线，的方程；

（II）若点，在曲线上，求的值．

22. 难度：简单

已知函数

(I)求不等式的解集;

(II)设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.