2012-2013学年江苏省高三下学期期中考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

设集合,,则       ．

2. 难度：简单

记，则点位于第      象限．

3. 难度：简单

有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

分组	[1.5,3.5)	[3.5,5.5)	[5.5,7.5)	[7.5,9.5)	[9.5,11.5)
频数	6	14	16	20	10

根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是        .

4. 难度：简单

已知向量，向量，则的最大值为       ．

5. 难度：简单

设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号

是     ．

①.若  ，， 则   ；      ②.若，，则   ；

③. 若  ，，则   ；      ④.若   ，，则  ．

6. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为       ．

7. 难度：简单

设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则___．

8. 难度：简单

若变量满足约束条件,则目标函数的最小值是______．

9. 难度：简单

阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为      ．

10. 难度：简单

已知，且，则的值为________．

11. 难度：简单

已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是        ．

12. 难度：简单

四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为      ．

13. 难度：简单

在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为    ．

14. 难度：简单

我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当，时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值   ．

二、解答题

15. 难度：简单

函数在一个周期内的图象如图所示,为

图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.

(Ⅰ)求的值及函数的值域；

(Ⅱ)若,且,求的值.

16. 难度：简单

直三棱柱中，，，、分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四面体的体积．

17. 难度：简单

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流

速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．                  

（Ⅰ）当0<x≤200时，求函数v(x)的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：

辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）

18. 难度：简单

已知椭圆过点，且它的离心率．直线

与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；

（Ⅲ）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．

19. 难度：简单

设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；

（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，，．

20. 难度：简单

[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．

21. 难度：简单

[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量，求曲线在的作用下的新曲线方程．

22. 难度：简单

[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．

23. 难度：简单

[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设，实数满足，求证：．

24. 难度：简单

在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是．

（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；

（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

25. 难度：简单

已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．

（Ⅰ）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；

（Ⅱ）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．