2012-2013学年河北省高三3月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线上，O为坐标原点，则（     ）

A．           B．            C．           D．

2. 难度：简单

某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)

A．0.95             B．0.97              C．0.92             D．0.08

3. 难度：简单

设圆的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)．

A．                       B．

C．                       D．

4. 难度：简单

如图，在长方体中，，，则异面直线与所成的角为 （  ）

A．      B．       C．　        D．

5. 难度：简单

已知函数，则的值为（  ）

A．             B．               C．               D．

6. 难度：简单

已知椭圆与曲线的离心率互为倒数，则（  ）

A．16               B．             C．              D．

7. 难度：简单

设，则，，，中最大的一个是  （  ）

A．               B．               C．               D．

8. 难度：简单

在中, ， ,点在上且满足,则等于(   )

A．              B．               C．             D．

9. 难度：简单

以下说法错误的是 （   ）

A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是

B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是

C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是

D．空间两条直线所成角的取值范围是

10. 难度：简单

已知四面体OABC中，OA、OB、OC两两相互垂直，，，D为四面体OABC外一点．给出下列命题：①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；③存在点D，使CD与AB垂直并相等；④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上．则其中正确命题的序号是（  ）

A.①②            B.②③            C.①③            D.③④

11. 难度：简单

设点、、且满足，则取得最小值时，点B的个数是（  ）

A．1个             B．2个              C．3个              D．无数个

12. 难度：简单

若^2a＋1<^3－2a，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(1，＋∞)                             B．

C．(－∞，1)                             D．

二、填空题

13. 难度：简单

设，当时，恒成立，则实数的

取值范围为            。

14. 难度：简单

设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，的平分线分线段的比为5∶1，则双曲线的离心率的取值范围是           ．

15. 难度：简单

极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为        ；

16. 难度：简单

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小，则的取值分别是           

三、解答题

17. 难度：简单

已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.

18. 难度：简单

如图，平面AEB，，，，，,，G是BC的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

19. 难度：简单

已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．

（Ⅰ）求此双曲线的方程；

（Ⅱ）求面积的最小值．

20. 难度：简单

在锐角△中，、、分别为角、、所对的边，且

（1）确定角的大小；

（2）若,且△的面积为,求的值．

21. 难度：简单

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.

（1）求圆C的方程.

（2）若直线与圆C相切，求的最小值.

22. 难度：简单

设函数，，，且以为最小正周期．

（1）求；

（2）求的解析式；

（3）已知，求的值．

23. 难度：简单

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

24. 难度：简单

设函数.

(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;

(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;

(III)当时,求函数在区间上的最大值