2012-2013学年辽宁实验、东北师大附、哈师大附中高三第二次模拟考试理数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则集合为

A．            B．            C．            D．

2. 难度：简单

“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

以下有关线性回归分析的说法不正确的是

A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心

B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值

C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱

D．越接近1，表明回归的效果越好

4. 难度：简单

将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为

A．              B．               C．               D．

5. 难度：简单

已知为等比数列，S_n是它的前n项和。若 ，且a₄与a₇的等差中项为，则 的值（ ）

A．35               B．33               C．31               D．29

6. 难度：简单

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是

A．                           B．

C．                   D．

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为

A．                             B．

C．                             D．

8. 难度：中等

已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长等于

A．4                                    B．3

C．2                                    D．与点M位置有关的值

9. 难度：简单

当a > 0时，函数的图象大致是

10. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率为

A．              B．               C．             D．

11. 难度：简单

已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为

A．              B．               C．               D．

12. 难度：简单

在底面半径为3，高为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为

A．4个             B．5个              C．6个              D．7个

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数，则__________。

14. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。

15. 难度：简单

平面上三个向量、、，满足，，，，则的最大值是__________。

16. 难度：简单

已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。

三、解答题

17. 难度：简单

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，，。

（1）求的值；

（2）求ΔABC的面积。

18. 难度：简单

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19. 难度：简单

已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。

（1）求证：MN⊥EA；

（2）求四棱锥M – ADNP的体积。

20. 难度：简单

设椭圆C：的两个焦点为F₁、F₂，点B₁为其短轴的一个端点，满足，。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M 做两条互相垂直的直线l₁、l₂设l₁与椭圆交于点A、B，l₂与椭圆交于点C、D，求的最小值。

21. 难度：简单

已知函数，。

（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x₀处的切线斜率总想等，求x₀的值；

（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。

22. 难度：简单

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。

（1）求证：CE² = CD · CB；

（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。

23. 难度：简单

在直角坐标系xOy中，已知点P，曲线C的参数方程为（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。

（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。

24. 难度：简单

设函数。

（1）求不等式的解集；

（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。