2014届四川省高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

以下对于几何体的描述，错误的是（   ）

A．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球

B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180º形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥

C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

2. 难度：简单

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AB，DD₁中点，则异面直线A₁M与C₁N所成的角是（   ）

A．0                B．               C．              D．

3. 难度：简单

下列命题中，正确的是（   ）

A．经过两条相交直线，有且只有一个平面

B．经过一条直线和一点，有且只有一个平面

C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点

D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

4. 难度：简单

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四面体AB₁CD₁的体积为（   ）

A．              B．               C．               D．

5. 难度：简单

若a，b是两条直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（   ）

A．若a∥b，则a平行于经过b的任何平面

B．若a∥α，则a与α内任何直线平行

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a∥b，a∥α，bα，则b∥α

6. 难度：简单

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （   ）

A．             B．             C．             D．

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图,输出的S值为（　 ）

A．4                B．8                C．16               D．64

8. 难度：简单

一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（    ）  

A．三棱锥           B．球               C．圆柱             D．正方体

9. 难度：简单

如图，在直棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90º，AA₁=2，E，F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60º，则截面的面积为(    )．

A．3或1    B．1    C．4或1    D．3或4  

10. 难度：简单

用一个平面去截正方体，对于截面的边界，有以下图形：

①钝角三角形；②直角梯形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形。

则不可能的图形的选项为（   ）

A．③④⑤           B．①②⑤           C．①②④           D．②③④

11. 难度：简单

如图，平行六面体中，侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，点E在棱上,则的最小值为（  ）

A．             B．5                C．             D．7

12. 难度：简单

三棱锥中，是底面，且这四个顶点都在半径为2的球面上，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（   ）

A．16               B．            C．            D．32

二、填空题

13. 难度：简单

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5，则直线AC₁与平面ABCD所成角的大小为         ．

14. 难度：简单

已知次多项式.秦九韶给出的一种算法中，计算的值需要次算法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要    次运算.

15. 难度：简单

某几何体的三视图如图1所示,它的体积为_______.

16. 难度：简单

正三棱锥P—ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：

①二面角B—PA—C大小的取值范围是（，π）；

②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；

③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；

④若二面角B—PA—C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．

正确的序号是         ．

三、解答题

17. 难度：简单

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为正方形BCC₁B₁的中心.

（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．

18. 难度：简单

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．

（1）求证：平面EFGH；

（2）求证：四边形EFGH是矩形．

19. 难度：简单

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．

（1）求GH长的取值范围；

（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.

20. 难度：简单

如图，已知二面角α—AB—β的大小为120º，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．

（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（2）求点P到直线AB的距离．

21. 难度：简单

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=4,将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁C⊥CD,如图2.

图1                      图2

(1)求证:A₁C⊥平面BCDE;

(2)过点E作截面平面,分别交CB于F,于H,求截面的面积;

(3)线段BC上是否存在点P,使平面A₁DP与平面A₁BE成的角?说明理由.

22. 难度：中等

在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。

（1）求点C到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值;

(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。