2014届广东省汕头市高二下学期期中理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知实数满足那么

A．                             B．

C．                           D．

2. 难度：简单

如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为

A．            B．            C．            D．

3. 难度：简单

从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为

A．              B．               C．               D．

4. 难度：简单

设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（   ）

5. 难度：简单

如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则+++ …… +=(  )

A．           B．           C．           D．

6. 难度：简单

函数有小于1的极值点，则实数的取值范围是（  ）

A．           B．        C．          D．

7. 难度：简单

已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是(  )

A．         B．         C．        D．

8. 难度：简单

已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①；②；

③；④．

其中是“垂直对点集”的序号是（  ）

A．①②             B．②③             C．①④             D．②④

二、填空题

9. 难度：简单

        ．

10. 难度：简单

函数在区间内零点的个数为  　　　　　 ．

11. 难度：简单

若直线是曲线的切线，则实数的值为       .

12. 难度：简单

函数的单调递增区间是            ．

13. 难度：简单

若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是      ．

14. 难度：简单

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　．

三、解答题

15. 难度：简单

已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.

16. 难度：简单

数列的前项和为，且

（1）写出与的递推关系式，并求,,的值；

（2）猜想关于的表达式，并用数学归纳法证明．

17. 难度：简单

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的．

18. 难度：简单

如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值．

19. 难度：简单

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

20. 难度：简单

已知，，

（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；

（3）求证：．