2012-2013学年上海市浦东新区高三第三次模拟理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为             .

2. 难度：简单

如果，为第三象限角，则          ．

3. 难度：简单

设等差数列的前项之和满足，那么          ．

4. 难度：简单

设复数，，，则__________.

5. 难度：简单

正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角等于__________.

6. 难度：简单

在△中，的对边分别是，且是的等差中项，则角=                .

7. 难度：简单

若①,②,则同时满足①②的正整数有           组.

8. 难度：简单

如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为          _________米．

9. 难度：简单

已知圆的方程是，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为        ．

10. 难度：简单

已知数列中,,，则当取得最小值时的值是         ．

11. 难度：简单

设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面的距离分别为，则___    .

12. 难度：简单

定义在上的函数同时满足性质：①对任何，均有成立；②对任何，当且仅当时，有.则的值为                .

13. 难度：简单

对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:

            

           

根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为         .

14. 难度：简单

定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3， )为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：

（1）是的一个排列；

（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．

给出下面三个数列：

①数列的前项和；

②数列：1，2，3，4，5；

③数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.

具有“性质”的为        ；具有“变换性质”的为           .

二、选择题

15. 难度：简单

非零向量，，，若向量，则的最大值为（   ）

A．       B．    C．      D．以上均不对

16. 难度：简单

已知数列的通项公式为,其前项和,则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．     B．     C．    D．

17. 难度：简单

已知中，,，则角的取值范围是（   ）

A．.        B．          C．          D．

18. 难度：简单

在平面斜坐标系中,点的斜坐标定义为:“若 (其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为

A．                         B．

C．                         D．

三、解答题

19. 难度：简单

已知函数 的最大值为2．

（1）求函数在上的值域；

（2）已知外接圆半径，，角A，B所对的边分别是a，b，求的值．

20. 难度：简单

设，函数的图像与函数的图像关于点对称．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围．

21. 难度：简单

如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）

（1）求的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值

22. 难度：简单

已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

23. 难度：简单

已知数列，满足：．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且．

① 记，求证：数列为等差数列；

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．