2012-2013学年山东省莱芜市高三4月模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，,,则集合B=

A．         B．        C．       D．

2. 难度：简单

若复数实部与虚部相等，则的值等于

A．-1               B．3                C．-9               D．9

3. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．               B．               C．               D．

4. 难度：简单

设向量，，且，则等于

A．             B．             C．               D．

5. 难度：简单

下列推理是归纳推理的是

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由a₁＝1，a_n＝3n－1，求出S₁，S₂，S₃，猜想出数列的前n项和S_n的表达式

C．由圆x²＋y²＝r²的面积πr²，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

6. 难度：简单

右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有

A．1个             B．2个              C．3个              D．4个

7. 难度：简单

若直线x－y＝2被圆(x－a)²＋y²＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为

A．－1或        B．1或3            C．－2或6          D．0或4

8. 难度：简单

下列四个判断：

①；

②已知随机变量X服从正态分布N（3，），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;

③已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中x项的系数为20；

④

其中正确的个数有：

A．1个             B．2个              C．3个              D．4个

9. 难度：简单

已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为

A．    B．     C．    D．

10. 难度：简单

已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为

A．           B．

C．                     D．

11. 难度：简单

已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为

Ａ．2          B．3        Ｃ．       D．

12. 难度：简单

等差数列前项和为，已知 则（  ）

A．              B．

C．             D．

二、填空题

13. 难度：简单

若存在实数使成立，则实数的取值范围是          .

14. 难度：简单

指数函数在上的最大值与最小值的和为6，则        .

15. 难度：简单

如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上. 则矩形面积的最大值为____    平方米 .

16. 难度：简单

设点，，如果直线与线段有一个公共点，那么的最小值为          

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量记.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.

18. 难度：简单

春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。

⑴试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；

⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为元的奖金。假设顾客每次抽奖中获的概率都是，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

19. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：平面ABD；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列是等差数列，

（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果，试写出数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

21. 难度：困难

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。

（1）求、的方程；

（2）求证：。

（3）记的面积分别为，若，求的取值范围。

22. 难度：压轴

已知函数，其中常数．

（1）求的单调区间；

（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．