2014届江苏省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知（为虚数单位），则复数的共轭复数是      ．

2. 难度：简单

从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有    种

（用数字作答）．

3. 难度：简单

若，则        ．

4. 难度：简单

由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有    个（用数字作答）．

5. 难度：简单

设为奇数，则除以9的余数为      ．

6. 难度：简单

已知复数乘法（，为虚数单位）的几何意义是将复数在复平面内对应的点绕原点逆时针方向旋转角，则将点绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为        ．

7. 难度：简单

的展开式中有理项共有        项．

8. 难度：简单

已知一个关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”．有下列判断：

（1）当时命题不成立，则时命题不成立；

（2）当时命题不成立，则时命题不成立；

（3）当时命题成立，则时命题成立；

（4）当时命题成立，则时命题成立．

其中正确判断的序号是        ．（写出所有正确判断的序号）

9. 难度：简单

已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值是        ．

10. 难度：简单

已知扇形，点为弧上异于的任意一点，当为弧的中点时，的值最大．现有半径为的半圆，在圆弧上依次取点（异于），则的最大值为    ．

11. 难度：简单

从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有     种（用数字作答）．

12. 难度：简单

若，则的值为     .

13. 难度：简单

数列满足，其中，设，则等于    ．

14. 难度：简单

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边的系数为，

而右边， 的系数为，

由恒成立，可得．

利用上述方法，化简      ．

二、解答题

15. 难度：简单

设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．

（1）求复数；

（2）若为纯虚数， 求实数的值．

16. 难度：简单

4个男同学，3个女同学站成一排．

（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？

（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

（用数字作答）

17. 难度：简单

已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112．

（1）求的值；

（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；

（3）求的展开式中含项的系数．

（用数字作答）

18. 难度：简单

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列．

19. 难度：简单

已知，考查

①；

②；

③．

归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

20. 难度：简单

试用两种方法证明：

（1）；

（2）．