2014届河南省高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x ∈R}，则(　　)

A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件

D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件

2. 难度：简单

函数在闭区间 [-3，0] 上的最大值、最小值分别是(    )

A．1，? 1            B．1，? 17           C．3，? 17           D．9，? 197

3. 难度：简单

当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（   ）

A．或                B．或

C．或               D．或

4. 难度：简单

 =(    )

A．               B．2                C．           D．

5. 难度：简单

已知函数，若函数的图像在点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为(    )

A．               B．               C．－             D．－

6. 难度：简单

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin〈，〉的值为(　　)

A．               B．            C．            D．

7. 难度：简单

函数在点处的切线方程是(    )

A．                      B．

C．                      D．

8. 难度：简单

已知F₁,F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　 ）

A．             B．             C．             D．

9. 难度：简单

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）

A．4个             B．个             C．个             D．1个

10. 难度：简单

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)

A．289              B．1024             C．1225             D．1378

11. 难度：简单

在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)

A.              B.             C.             D.

12. 难度：简单

过点P(x,y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且=1，则点P的轨迹方程是（ 　 ）

A．            B．

C．            D．

二、填空题

13. 难度：简单

两不重合直线l₁和l₂的方向向量分别为＝(1,0，－1)，＝(－2，0,2)，则l₁与l₂的位置关系是________．

14. 难度：简单

曲线在处切线的斜率是               .

15. 难度：简单

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦等于________．

16. 难度：简单

已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设，则的值等于       ．

三、解答题

17. 难度：简单

（本题满分10分）

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑴求证：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

18. 难度：简单

（本题满分12分）

已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

19. 难度：简单

（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

20. 难度：简单

（本题满分12分）

已知函数。

（I）求的最小值；

（II）若对所有都有，求实数的取值范围。

21. 难度：简单

（本题满分12分）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22. 难度：简单

（本题满分12分）

设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交A,B且

？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

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