2011-2012学年江苏省高三第四次（12月）阶段性测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知函数的定义域为集合,为自然数集,则=       ．

2. 难度：简单

下面是一个算法的程序框图，当输入的值为8时，则其输出的结果是        ．

3. 难度：简单

如果复数是实数，则实数       ．

4. 难度：简单

若双曲线的标准方程为,则此双曲线的准线方程为       ．

5. 难度：简单

若不等式的解集为，则实数       ．

6. 难度：简单

若函数的零点在区间上,则的值为       .

7. 难度：简单

已知函数，则的值域为       ．

8. 难度：简单

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.则椭圆的标准方程为       ．

9. 难度：简单

已知命题：“在等差数列中，若，则”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可算得括号内的数为           ．

10. 难度：中等

若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是           ．

11. 难度：简单

在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为       .

12. 难度：简单

设点为三角形ABC的外心，则       ．

13. 难度：中等

函数，满足，若，，则集合中最小的元素是   .

14. 难度：简单

已知数列｛a_n｝共有m项，记｛a_n｝的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n<m时，a_n =       ．

二、解答题

15. 难度：简单

在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．

（Ⅰ）求角的值;

（Ⅱ）若，求△ABC面积．

16. 难度：简单

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积V.

17. 难度：简单

江苏某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米，设防洪堤横断面的腰长为米，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为米.

（1）求关于的函数关系式，并指出其定义域；

（2）要使防洪提的横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长应在什么范围内？

18. 难度：中等

已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；

（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围；

（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

19. 难度：中等

已知数列 ，满足数列的前项和为，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；           

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：当时，．

20. 难度：简单

设函数.

（1）若函数图像上的点到直线距离的最小值为，求的值；

（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数的

“分界线”.设，试探究是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.

21. 难度：简单

一个的矩阵有两个特征值：，它们对应的一个特征向量分别为：

求矩阵M.

22. 难度：简单

已知圆锥曲线C：，点分别为圆锥曲线C的左、右焦点，点B为圆锥曲线C的上顶点，求经过点且垂直于直线的直线的方程.

23. 难度：中等

已知：四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，且AB∥CD，∠DAB＝90^o，DC＝2AD＝2AB，侧面PAD与底面垂直，PA＝PD，点M为侧棱PC上一点．

（1）若PA＝AD，求PB与平面PAD的所成角大小；

（2）问多大时，AM⊥平面PDB可能成立？

24. 难度：中等

设数列是等比数列，，公比是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．

（1）用表示通项与前n项和；

（2）若，用表示．