2012-2013学年江苏省徐州市高三考前模拟数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

若集合，，则＝       ．

2. 难度：简单

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为       ．

3. 难度：简单

已知样本的平均数是，且，则此样本的标准差是       ．

4. 难度：简单

在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 的概率是       ．

5. 难度：简单

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为       ．

6. 难度：简单

已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围是       ．

7. 难度：简单

已知，则       ．

8. 难度：简单

有一个正四面体的棱长为，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为       ．

9. 难度：简单

过点的直线将圆分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为       ．

10. 难度：简单

已知数列的前项和，且的最大值为8，则

     ．

11. 难度：简单

已知中心为的正方形的边长为2，点分别为线段上的两个不同点，且，则的取值范围是       ．

12. 难度：简单

在数列中，已知，，当时，是的个位数，则       ．

13. 难度：简单

已知，若实数满足，则的最小值是       ．

14. 难度：简单

设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为．若存在，使得，则实数的取值范围是       ．

二、解答题

15. 难度：简单

设的内角所对的边分别为．已知，，．

⑴求边的长；

⑵求的值．

16. 难度：简单

如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，且，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，垂足为，求证：．

17. 难度：简单

某人年底花万元买了一套住房，其中首付万元，万元采用商业贷款．贷款的月利率为‰，按复利计算，每月等额还贷一次，年还清，并从贷款后的次月开始还贷．

⑴这个人每月应还贷多少元？

⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：）

18. 难度：简单

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，且椭圆上的点到点距离的最小值为2．

⑴求椭圆的方程；

⑵设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆及直线分别相交于点．

（ⅰ）当过三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；

（ⅱ）若，求的面积．

19. 难度：简单

已知数列，其前项和为．

⑴若对任意的，组成公差为的等差数列，且，，求的值；

⑵若数列是公比为的等比数列，为常数，求证：数列为等比数列的充要条件为．

20. 难度：简单

已知函数，，．

⑴求函数的单调区间；

⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实   数的取值范围；

⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．

21. 难度：简单

如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点， 过点的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为，，求长．

22. 难度：简单

设，，试求曲线在矩阵变换下的曲线方程．

23. 难度：简单

在极坐标系中，已知点为圆上任一点．求点到直线的距离的最小值与最大值．

24. 难度：简单

已知为正数，且满足，求证：．

25. 难度：简单

过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点．

（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值；

（2）求证：直线过定点．

26. 难度：简单

已知．

⑴求及；

⑵试比较与的大小，并说明理由．