2012-2013学年湖北省黄冈市高三6月适应性考试理科A数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合，且，则满足的实数a可以取的一个值是(     )

A．3                B．2                C．1                D．0

2. 难度：简单

已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是 （   ）

A．             B．               C．             D．

3. 难度：简单

在区间[－1,1]上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为(　　)

A．              B．               C．               D．

4. 难度：简单

按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（     ）

A．(20,25]           B．(30,32]           C．(28,57]           D．(30,57]

5. 难度：简单

当实数满足不等式时，恒有成立，则实数的取值集合是（ ）

A．            B．          C．           D．

6. 难度：简单

已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：

①BC⊥平面SAC；

②平面SBC⊥平面SAB；

③SB⊥AC．

其中所有正确命题的代号是 （      ）

A．①           B．②

C．①③         D．①②

7. 难度：简单

已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ）

A．            B．          C．            D．

8. 难度：简单

气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ⁰C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

① 甲地：5个数据的中位数为，众数为；

② 乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；

③ 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为；

则肯定进入夏季的地区有  (       )

A．0个             B．1个              C．2个              D．3个

9. 难度：简单

如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（   ）

A．           B．            C．           D．

二、填空题

10. 难度：简单

已知向量，，则在方向上的投影等于        ．

11. 难度：简单

从这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素不能放在第二个格子中，问共有        种不同的放法．（用数学作答）

12. 难度：简单

若函数且 有两个零点，则实数的取值范围是     ．

13. 难度：简单

科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：

（1）如果，则按照上述规则施行变换后的第8项为           ．

（2）如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则的所有不同值的个数为           ．

14. 难度：简单

如图，的外接圆的切线与的延长线相交于点，的平分线与相交于点，若，，则______．

15. 难度：简单

已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为______．

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和

（1）求函数的解析式；

（2）若锐角满足，求的值．

17. 难度：简单

节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段  后得到如下图的频率分布直方图.

(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?

(2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及数学期望.

18. 难度：简单

如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．

（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19. 难度：简单

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．

（1）证明：是一个常数；

（2）求与的关系式；

（3）求的表达式．

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；

（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．

21. 难度：困难

已知

（1）求的极值，

并证明：若有；

（2）设，且，，

证明：，

若，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；

（3）证明：若，则