2013年黑龙江省高三第四次联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log₂x<2}，则A B=

A．{x|1≤x≤3}                           B．{x|－1≤x≤3}

C．{x| 0<x≤3}                            D．{x|－1≤x<0}

2. 难度：简单

若复数z=（a² +2a－3）+（a－l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为

A．－3              B．－3或1           C．3或－1           D．1

3. 难度：简单

已知向量，满足||="2," | |=l，且（+）⊥（），则与的夹角为

A．              B．               C．              D．

4. 难度：简单

下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程 =2－x的说法中，不正确的是

A．变量x与y正相关

B．该回归直线必过样本点中心（）

C．当x=l时，y的预报值为l

D．当残差平方和越小时模型拟合的效果越好

5. 难度：简单

函数的图象的大致形状是

6. 难度：中等

下列说法中正确的是

A．若pq为真命题，则p，q均为真命题

B．命题“”的否定是“”

C．“a≥5”是“恒成立“的充要条件

D．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的必要不充分条件

7. 难度：简单

下图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设

甲、乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m_甲，m_乙，则

  

A．<，m_甲> m_乙                     B．<，m_甲< m_乙

C．，m_甲> m_乙                      D．>，m_甲< m_乙

8. 难度：简单

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是

A．i≤1006          B．i> 1006           C．i≤1007           D．i> 1007

9. 难度：简单

函数的部分图象如图

所示，则

A．

B．

C．

D．

10. 难度：中等

双曲线过其左焦点F₁作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为

A．（2，+∞）                            B．（1，2）

C．（，+∞）                           D．（1，）

11. 难度：中等

若a>l，设函数f（x）=a^x+x －4的零点为m，函数g（x）= log_ax+x－4的零点为n，则的最小值为

A．1                B．2                C．4                D．8

12. 难度：简单

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（2 +x）=－f（x），且当时x∈[0，1]时，则方程在[－1，5]的所有实根之和为

A．0                B．2                C．4                D．8

二、填空题

13. 难度：简单

已知等差数列的前n项和为，且，则     。

14. 难度：简单

在（的展开式中，x的系数是      。（用数字作答）

15. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为      。

16. 难度：简单

如图，在矩形ABCD中，AB =2．AD =3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率为        。

三、解答题

17. 难度：简单

在△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a,b,c，向量m=（cos，1），n=（一l,sin（A+B）），且m⊥n．

（ I）求角C的大小；

（Ⅱ）若·，且a+b =4，求c．

18. 难度：中等

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．

（I）求随机变量的分布列及其数学期望E（）；

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

19. 难度：中等

几何体EFG —ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均为矩形，AD=DC=l，AE=。

（I）求证：EF⊥平面GDB；

（Ⅱ）线段DG上是否存在点M使直线BM与平面BEF所成的角为45°，若存在求等￥ 的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知抛物线E:y²= 4x，点P（2，O）．如图所示，直线．过点P且与抛物线E交于A（x_l，y₁）、B（ x₂，y₂）两点，直线过点P且与抛物线E交于C（x₃， y₃）、D（x₄，y₄）两点．过点P作x轴的垂线，与线段AC和BD分别交于点M、N．

（I）求y₁y₂的值；

（Ⅱ）求讧：|PM|="|" PN|

21. 难度：中等

已知f（x）=1nx－a（x－l），a∈R

（I）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若x≥1时，石恒成立，求实数a的取值范围，

22. 难度：简单

如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，CA平分∠BAE，CF⊥AB， F是垂足，CD⊥AE，交AE延长线于D．

（I）求证：DC是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：AF．FB=DE．DA．

23. 难度：简单

已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（I）判断直线与圆C的位置关系；

（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x +y的取值范围．

24. 难度：简单

选修4—5:不等式选讲

已知函数。

（ I）当a=－3时，求的解集；

（Ⅱ）当f（x）定义域为R时，求实数a的取值范围