2014届辽宁沈阳四校协作体高二上学期期中考试理数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若，则1+2+2²+2³+…+2^n-1=

A．2^n-1-1             B．2ⁿ-1              C．       D．

2. 难度：简单

函数f(x)=2x+ (x>0)有

A．最大值8          B．最小值8          C．最大值4          D．最小值4

3. 难度：简单

已知数列-1,a₁,a₂,-4成等差数列，数列-1,b₁,b₂,b₃,-4成等比数列，则

A．±             B．±             C．-              D．

4. 难度：简单

等比数列，，1…从第2项到第6项的乘积等于

A．32               B．-32              C．              D．

5. 难度：简单

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成角的余弦值为

A．               B．             C．             D．

6. 难度：简单

当m>1时，关于x的不等式x²+(m-1)x-m≥0的解集是

A．{x|x≤1，或x≥-m}                     B． {x|1≤x≤-m }

C．{x|x≤-m，或x≥1}                     D． {x|-m≤x≤1 }

7. 难度：简单

公差小于0的等差数列{a_n}中，且(a₃)²=(a₉)²，则数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值时的n的值是

A．6                B．7                C．5或6            D．6或7

8. 难度：简单

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成的角的余弦值为

A．             B．             C．               D．

9. 难度：简单

已知a+4b="ab," a、b均为正数，则使a+b>m恒成立的m的取值范围是

A．m<9             B．m≤9             C．m<8             D．m≤8

10. 难度：简单

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，如果S₃=12，a₃+a₅=16，那么

A．             B．               C．               D．

11. 难度：简单

已知x>0,y>0,x+y+xy="2," 则x+y的最小值是

A．              B．           C．          D．

12. 难度：简单

直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和.若二面角的平面角为150°,则球O的表面积为

A．             B．             C．            D．

二、填空题

13. 难度：简单

等比数列的首项是-1,前n项和为S_n, 如果,则S₄的值是_________.

14. 难度：简单

关于x的方程x²+mx+m²-3=0的两个实根中，一个比1大，另一个比1小，则实数m的取值范围是_______________.

15. 难度：简单

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是______________.

16. 难度：简单

无穷等差数列{a_n}各项都是正数，S_n是它的前n项和，若a₁+a₃+a₈=a₄²,则a₅·S₄的最大值是______________.

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分10分）

已知关于x的方程x²+(m-3)x+m=0

(1)若此方程有实数根，求实数m的取值范围.

(2)若此方程的两实数根之差的绝对值小于,求实数m的取值范围.

18. 难度：简单

(本小题满分12分)

如图：在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD‖BC ,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD, PA="3," AD="2," AB=, BC=6.

(1)求证：BD⊥平面PAC

(2)求二面角B-PC-A的大小.

19. 难度：简单

(本小题满分12分)

已知x,y满足条件

求: (1)4x-3y的最大值

(2)x²+y²的最大值

(3)的最小值

20. 难度：中等

 (本小题满分12分)

设{a_n}是公差不为O的等差数列，Sn是其前n项和，已知，且

(1)求数列{a_n}的通项a_n

(2)求等比数列{b_n}满足b₁=S₁ ,b₂=, 求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

21. 难度：简单

(本小题满分12分)

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1,且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

(1)证明：PN⊥AM

(2)若，求直线AA₁与平面PMN所成角的正弦值.

22. 难度：中等

(本小题满分12分)

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=9,S_n=n²a_n-n²(n-1),设b_n=

(1)求证：b_n-b_n-1="n" (n≥2，n∈N).

(2)求的最小值.