2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

函数的最小正周期为      

2. 难度：简单

设为虚数单位），则复数的模为    

3. 难度：简单

双曲线的两条渐近线的方程为    

4. 难度：简单

集合共有        个子集.

5. 难度：简单

下图是一个算法的流程图，则输出的的值是       

6. 难度：简单

抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：

则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为     

7. 难度：简单

现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为     

8. 难度：简单

如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则       

9. 难度：中等

抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是    

10. 难度：简单

设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是    

11. 难度：简单

已知是定义在上的奇函数. 当时，，则不等式的解集用区间表示为    

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点. 设原点到直线的距离为，点到的距离为. 若，则椭圆的离心率为    

13. 难度：困难

在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为    

14. 难度：困难

在正项等比数列中，，. 则满足的最大正整数的值为    

二、解答题

15. 难度：简单

已知，.

（1）若，求证：；

（2）设，若，求，的值.

16. 难度：简单

如图，在三棱锥中，平面平面，，. 过点作，垂足为，点，分别为棱，的中点.

求证：（1）平面平面；

（2）.

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

18. 难度：中等

如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.

（1）求索道的长；

（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

19. 难度：困难

设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.

（1）若，且，，成等比数列，证明：；

（2）若是等差数列，证明.

20. 难度：困难

设函数，，其中为实数.

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

21. 难度：简单

、分别与圆相切于、，经过圆心，且，求证：.

22. 难度：简单

已知矩阵 ， ，求矩阵.

23. 难度：简单

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.

24. 难度：简单

已知，求证：.

25. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

26. 难度：困难

设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.

（1）求集合中元素的个数；

（2）求集合中元素的个数.