2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 （    ）

A．          B．[1,2]             C．[－2,2]           D．[－2,1]

2. 难度：简单

设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（    ）

A．－7              B．－4              C．1                D．2

3. 难度：简单

阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为（    ）

A．7                B．6                C．5                D．4

4. 难度：简单

设, 则 “”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（    ）

A．             B．1                C．2                D．

6. 难度：简单

 函数在区间上的最小值是（    ）

A．              B．            C．             D．0

7. 难度：简单

已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（    ）

A．             B．           C．           D．

8. 难度：简单

 设函数. 若实数a, b满足, 则（    ）

A．                       B．

C．                        D．

二、填空题

9. 难度：简单

 i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) =       .

10. 难度：简单

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为       .

11. 难度：简单

已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为     .

12. 难度：简单

在平行四边形ABCD中, AD =" 1," , E为CD的中点. 若, 则AB的长为     .

13. 难度：简单

如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB =" AD" =" 5," BE =" 4," 则弦BD的长为     .

14. 难度：简单

设a + b =" 2," b>0, 则的最小值为     .

三、解答题

15. 难度：简单

某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S =" x" + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号	A1	A2	A3	A4	A5
质量指标(x, y, z)	(1,1,2)	(2,1,1)	(2,2,2)	(1,1,1)	(1,2,1)
产品编号	A6	A7	A8	A9	A10
质量指标(x, y, z)	(1,2,2)	(2,1,1)	(2,2,1)	(1,1,1)	(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(1) 用产品编号列出所有可能的结果;

(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

16. 难度：简单

在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a =" 3," .

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求的值.

17. 难度：中等

如图, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A₁C₁的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A₁CD;

(Ⅱ) 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值.

18. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.

19. 难度：中等

已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 证明.

20. 难度：困难

设, 已知函数 

(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.