2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，，则(      )

A．             B．            C．          D．

2. 难度：简单

函数的定义域是(      )

A．         B．         C．   D．

3. 难度：简单

若，，则复数的模是(      )

A．2                B．3                C．4                D．5

4. 难度：简单

已知，那么(      )

A．             B．             C．               D．

5. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是(      )

A．1                B．2                C．4                D．7

6. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(      )

A．               B．               C．               D．

7. 难度：简单

垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是(      )

A．                       B．

C．                         D．

8. 难度：简单

设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(      )

A．若，，则              B．若，，则

C．若，，则             D．若，，则

9. 难度：简单

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是(      )

A．      B．      C．      D．

10. 难度：简单

设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使；

③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(      )

A．1                B．2                C．3                D．4

二、填空题

11. 难度：简单

设数列是首项为，公比为的等比数列，则           ．       

12. 难度：简单

若曲线在点处的切线平行于轴，则           ．

13. 难度：简单

已知变量满足约束条件，则的最大值是         ．

14. 难度：简单

已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为           ．

15. 难度：简单

如图，在矩形中，，，垂足为，则      ．

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数．

(1) 求的值；

(2) 若，求．

17. 难度：简单

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）
频数（个）	5	10	20	15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；

(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．

18. 难度：中等

如图，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中．

(1) 证明：//平面；

(2) 证明：平面；

(3) 当时，求三棱锥的体积．

19. 难度：中等

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

(1) 证明：；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数，有．

20. 难度：困难

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

21. 难度：困难

设函数 ．

(1) 当时,求函数的单调区间；

(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．