2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（   ）

A．第一象限         B．第二象限          C．第三象限         D．第四象限

2. 难度：简单

“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（   ）

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充分必要条件                          D．既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（   ）

A．9                B．10               C．12               D．13

4. 难度：简单

已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（   ）

A．4                B．3                C．2                D．1

5. 难度：简单

在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=b，则角A等于（   ）

A．              B．               C．              D．

6. 难度：简单

函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x²-4x+4的图像的交点个数为（   ）

A．0                B．1                C．2                D．3

7. 难度：简单

已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（    ）

A．             B．1                C．          D．

8. 难度：简单

已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（   ）

A．          B．             C．           D．

9. 难度：简单

已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（   ）

A．              B．               C．             D．

二、填空题

10. 难度：简单

已知集合,则________

11. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为________

12. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为______

13. 难度：简单

若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________

14. 难度：简单

设F₁，F₂是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为________________.

15. 难度：简单

对于E={a₁，a₂,….a₁₀₀}的子集X={，,…, },定义X的“特征数列”

为x₁,x₂…,x₁₀₀,其中==…==1.其余项均为0，例如子集{a₂，a₃}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0 子集{a₁,a_3,a₅}的“特征数列”的前三项和等于________________;若E的子集P的“特征数列”P₁，P₂，…,P₁₀₀满足P₁+P_i+1="1," 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列” q₁，q₂，…,q₁₀₀ 满足q₁=1，q₁+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___________.

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数

（1）求的值；

（2）求使 成立的x的取值集合

17. 难度：简单

如图.在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ BAC=90°，AB=AC=，AA₁=3，D是BC的中点，点E在菱BB₁上运动。

（1）证明：AD⊥C₁E；

（2）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C_1-A₁B₁E的体积

18. 难度：中等

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y	51	48	45	42
频数		4

 (Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

19. 难度：简单

设为数列{}的前项和，已知，2，N

（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列｛｝的前项和。

20. 难度：中等

已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。

21. 难度：中等

已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f（x₁）=f（x₂）(x₁≠x₂)时，x₁+x₂＜0.