2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合M=｛x|(x-1)² < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=   （   ）

A．｛0，1，2｝                           B．｛-1，0，1，2｝

C．{-1，0，2，3}                         D．{0，1，2，3}

2. 难度：简单

设复数z满足（1-i）z="2" i，则z= （    ）

A．-1+i              B．-1-i              C．1+i              D．1-i

3. 难度：简单

等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，已知S₃ = a₂ +10a₁ ，a₅ = 9，则a₁=（ ）

A．                                   B．-

C．                                   D．-

4. 难度：简单

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l则

（  ）

A．α∥β且∥α                        B．α⊥β且⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于             D．α与β相交，且交线平行于

5. 难度：简单

已知（1+x）(1+x)⁵的展开式中x²的系数为5，则=

A．-4               B．-3               C．-2               D．-1

6. 难度：简单

执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=

A．1+ + +…+

B．1+ + +…+

C．1+ + +…+

D．1+ + +…+

7. 难度：简单

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为

(A)             (B)                     (C)                (D)

8. 难度：简单

设=log₃6,b=log₅10,c=log₇14,则

A．c＞b＞a                              B．b＞c＞a

C．a＞c＞b                              D．a＞b＞c

9. 难度：简单

已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=

A．                B．                C．1                D．2

10. 难度：简单

已知函数f(x)=,下列结论中错误的是

A．, f()=0

B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减

D．若是f（x）的极值点，则 ()=0

11. 难度：简单

设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5,若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

A．或                    B．或

C．或                   D．或

12. 难度：简单

已知点A（-1，0）；B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

A．（0，1）          B．（1-，） (     C．（1-，        D．[,）

二、填空题

13. 难度：简单

已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.

14. 难度：简单

从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.

15. 难度：简单

设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=_________.

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₁₀=0，S₁₅ =25，则nS_n 的最小值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）证明： //平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

19. 难度：简单

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的数学期望.

20. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：右焦点的直线交于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

(Ι)求M的方程；

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值

21. 难度：中等

已知函数f(x)=-ln(x+m).

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.

22. 难度：简单

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，

且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆.

（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.                       

23. 难度：简单

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）