2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 （    ）

A．[－1,1]                               B．(－1,1)

C．                    D．

2. 难度：简单

根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 （    ）

A．25               B．30               C．31               D．61

3. 难度：简单

设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 （    ）

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充分必要条件                          D．既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （    ）

A．11               B．12               C．13               D．14

5. 难度：简单

如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （    ）

A．           B．            C．           D．

6. 难度：简单

设z₁, z₂是复数, 则下列命题中的假命题是 （    ）

A．若, 则              B．若, 则

C．若, 则            D．若, 则

7. 难度：简单

设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 （    ）

A．锐角三角形       B．直角三角形        C．钝角三角形        D．不确定

8. 难度：简单

设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 （    ）

A．－20             B．20               C．－15             D．15

9. 难度：中等

在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （    ）

A．[15,20]           B．[12,25]           C．[10,30]           D．[20,30]

10. 难度：中等

设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （    ）

A．[－x] ＝ －[x]                         B．[2x] ＝ 2[x]

C．[x＋y]≤[x]＋[y]                        D．[x－y]≤[x]－[y]

二、填空题

11. 难度：简单

双曲线的离心率为, 则m等于       .

12. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示, 则其体积为       .

13. 难度：简单

 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为       .

14. 难度：简单

观察下列等式:

 

…

照此规律, 第n个等式可为       .

15. 难度：简单

已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为     .

16. 难度：简单

如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝     .

17. 难度：简单

(坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为            .

三、解答题

18. 难度：简单

已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

19. 难度：简单

设是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.

20. 难度：中等

如图, 四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A₁O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A₁C⊥平面BB₁D₁D;

(Ⅱ) 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角的大小.

21. 难度：中等

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

22. 难度：简单

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.

23. 难度：困难

已知函数.

(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.

(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.