2014届辽宁省五校协作体高三（高二期末）摸底考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合

A．                    B．

C．                        D．R

2. 难度：简单

在复平面内，复数为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为

A．              B．1                C．i              D．i

3. 难度：简单

抛物线y²= 2x的准线方程是

A．y=             B．y=－           C．x=             D．x=－

4. 难度：简单

已知命题那么是

A．                     B．

C．                     D．

5. 难度：简单

下列函数在（0，+）上是增函数的是

A．     B．        C．       D．

6. 难度：简单

在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、。丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为

A．36               B．72               C．84               D．108

7. 难度：简单

将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是

A．                  B．

C．              D．

8. 难度：简单

一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为

A．                               B．

C．                                 D．

9. 难度：简单

下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A．                                B．

C．                               D．

10. 难度：简单

F₁，F₂是双曲线的左、右焦点，过左焦点F₁的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是

A．            B．             C．2                D．

11. 难度：简单

已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=60°，，则m的值为       

A．             B．             C．1                D．

12. 难度：简单

函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是         

A．          B．          C．            D．[0，1]

二、填空题

13. 难度：简单

对任意实数x，有，则的值为               。

14. 难度：简单

一个正三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是          cm³．

15. 难度：简单

已知       。

16. 难度：简单

若实数x，y满足不等式组则的取值范围是         。

三、解答题

17. 难度：简单

设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n满足且

（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式：

（Ⅱ）设T_n为数列{S_n}的前n项和，求T_n．

18. 难度：中等

如图，在直线三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；

（Ⅱ）设D是BB₁的中点，求DC₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

19. 难度：简单

某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．

（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm）内的运动员人数b;

（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；

（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k₁、k₂分别表示直线AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|·|CN| 为定值．

21. 难度：中等

 已知函数在点处的切线方程是x+ y－l=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），对一切x∈（0,+）均有恒成立．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求证：。

22. 难度：简单

如图，A，B,C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于点D，过B作圆O的切线交AD的延长线于E．

（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD；

（II）求证：AB·DE=CD·BE．

23. 难度：简单

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圈C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O,P与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

24. 难度：简单

设正有理数x是的一个近似值，令。

（Ⅰ）若；

（Ⅱ）比较y与x哪一个更接近于，请说明理由．