2012-2013学年吉林省长春市毕业班第四次调研测试理科数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设函数，．

(1) 解不等式；

(2) 设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.

二、选择题

2. 难度：简单

设集合，则为（     ）

A.               B.                      C.                         D.

3. 难度：简单

关于复数，下列说法中正确的是（     ）

A. 在复平面内复数对应的点在第一象限

B. 复数的共轭复数

C. 若复数为纯虚数，则

D. 设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上

4. 难度：简单

下列函数的图像一定关于原点对称的是（     ）

A.           B.    C.     D.

5. 难度：简单

已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（     ）

A.         B.          C. 2           D.

6. 难度：简单

执行如图所示程序框图，输出的值为（     ）

A. 11                   B. 13

C. 15                    D. 4

7. 难度：简单

二项式的展开式中常数项为(     )

A. 5     B. 10  C.         D. 40

8. 难度：简单

设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（     ）

A. 是偶函数                                                 B. 最小正周期为π

C. 图象关于点对称                           D. 在区间上是增函数

9. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（     ）

 A.                                  B.

C.                              D.

10. 难度：简单

如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则（     ）

A.                B.     

C.               D.

11. 难度：简单

若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为(    )

A. 12                                     B. 14                                      C. 16                                      D. 18

12. 难度：简单

已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（     ）

A. 2或                      B. 或             C. 2或                     D. 或

13. 难度：简单

已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为(     )

A.                              B.               C.              D.

三、填空题

14. 难度：中等

设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则______.

15. 难度：简单

函数的图像和其在点处的切线与轴所围成区域的面积为________.

16. 难度：简单

给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数是用来刻画回     归效果的，的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.

17. 难度：中等

函数满足，，则不等式的解集为______.

四、解答题

18. 难度：中等

数列满足，且.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 令，当数列为递增数列时，求正实数的取值范围.

19. 难度：简单

为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000   株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：

	高茎	矮茎	合计
圆粒	11	19	30
皱粒	13	7	20
合计	24	26	50

 (1) 现采用分层抽样的方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机选出3株，求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；

 (2) 根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考：       

P(K^2≥k)	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

，其中)

20. 难度：中等

如图，平面四边形的4个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面         ，，点为的中点.

(1) 证明：平面平面；

(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21. 难度：困难

已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共

线，且，求的取值范围.

22. 难度：困难

已知函数.

(1) 当时，求函数的单调区间；

(2) 当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．

(3) 求证：，(其中，是自然对数的底).

23. 难度：简单

如图，是的切线，过圆心， 为的直径，与相交于、两点，连结、. (1) 求证：；

(2) 求证：.

24. 难度：简单

在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

(1) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；

(2) 设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.