2014届江苏省高三开学检测理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第        象限．

2. 难度：简单

已知集合，，如果，则     ．

3. 难度：简单

已知，，则          ．

4. 难度：简单

设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则___ ___．

5. 难度：简单

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是　　　.

①.若   ，，  则    ；      ②.若，， 则    ；

③.若，，则；       ④.若，则．

6. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为    ．

7. 难度：简单

已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为        .

8. 难度：简单

已知，，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为         ．

9. 难度：简单

函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．

10. 难度：简单

已知，且，，则___ ___．

11. 难度：简单

求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为　    　．

12. 难度：中等

已知实数，直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，则的值为       ．

13. 难度：简单

设函数，函数的零点个数为　  　．

14. 难度：简单

设实数均不小于1，且，则的最小值是　  　．（是指四个数中最大的一个）

二、解答题

15. 难度：中等

在中，角所对的边分别为，且.

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）若，，，求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，为上一点，，．

（I）若为的中点，求证平面；

（II）求三棱锥的体积．

17. 难度：中等

某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率．设某商品标价为元，购买该商品得到的实际折扣率为．

（Ⅰ）写出当时，关于的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；

（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？

18. 难度：困难

如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（Ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；

（Ⅱ）求线段的长的最小值；

（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

19. 难度：困难

已知是实数，函数，和，分别是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．

（Ⅰ）设，若函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．

（Ⅰ）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；

（Ⅱ）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；

（Ⅲ）设，，求证：．

三、填空题

21. 难度：简单

求展开式中的常数项．

四、解答题

22. 难度：简单

某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记为选取女生的人数，求的分布列及数学期望．

23. 难度：中等

如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，直线与平面所成的角为，求长．

24. 难度：中等

数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如：当时，，，；当时，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想，并用数学归纳法证明．