2014届甘肃天水一中高二下学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则为（   ）

（A）     (B) 

(C)     (D) 

2. 难度：简单

若复数是纯虚数，则实数等于（   ）

（A）        （B）2 （C）       （D）－2

3. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，且,则（  ）

（A）                (B)                       (C)                 (D)4

4. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的的值为  （   ）

（A）4           （B）5      （C）6      （D）7

5. 难度：简单

用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（   ）

（A）144        （B）120          （C）108           （D）72

6. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为（  ）

（A）    （B）

（C）    （D）

7. 难度：简单

已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， O 是 三 角形 ABC 的 重 心 ， 动 点 P 满 足，则点 P 一定为三角形的 （   ）

（A）AB 边中线的中点

（B）AB 边中线的三等分点（非重心）

（C）重心

（D）AB边的中点

8. 难度：简单

定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时， ，则的值为 （   ）

（A）     （B）      （C）   （D）

9. 难度：简单

在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为 ，则 M 到面 ABC 的距离为（   ）

（A）

（B）

（C）1

（D）

10. 难度：简单

已知函数（k∈R），若函数有三个零点，则实数k的取值范围是（   ）

（A）k≤2               （B）－1＜k＜0

（C）－2≤k＜－1        （D）k≤－2

11. 难度：简单

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上的一点，，且,垂足为,若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

（A）    （B）     （C）     （D）

12. 难度：简单

如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCB-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（   ）

（A）       （B）      （C）      ( D）

二、填空题

13. 难度：简单

在的展开式中，常数项为______．(用数字作答)

14. 难度：简单

若点 P（x，y）满足线性约束条件，O为坐标原点，则的最大值_________．

15. 难度：中等

设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有     

（写出所有你认为正确的结论的序号）．

16. 难度：简单

已知数列满足，，则数列的通项公式为=    

三、解答题

17. 难度：简单

在△ABC中，分别为三个内角的对边，锐角满足． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ） 若，当取最大值时，求的值．

18. 难度：中等

为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n;

（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；

（Ⅱ）求证：AB⊥PE；

（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

20. 难度：简单

已知椭圆C的方程为，其离心率为，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足，求的取值范围．

21. 难度：困难

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

22. 难度：中等

如图，已知切⊙于点E，割线PBA交⊙于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．

求证：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

23. 难度：简单

已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）圆、是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

24. 难度：简单

已知： ，求证：.