2008年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A，B，C是三个集合，那么“A=B”是“A∩C=B∩C”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

2. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（ ）
A．5
B．-5
C．
D．

3. 难度：中等

正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中T_n表示前n项的积，若T₅=1，则一定有（ ）
A．a₁=1
B．a₃=1
C．a₄=1
D．a₅=1

5. 难度：中等

设函数则（a≠b）的值为（ ）
A．a
B．b
C．
D．

6. 难度：中等

从湖中打一网鱼，共m条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n条，其中有k条有记号，则能估计湖中有鱼（ ）
A．条
B．条
C．条
D．条

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）与y=log₅x的图象的交点个数为（ ）
A．0个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、解答题

9. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数的取法共有     种（用数字作答）．

10. 难度：中等

展开式中x⁹的系数是    ，所有项的系数和是    ．

11. 难度：中等

不等式的解集是     ．

12. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若b=2，，，则边长c=    ．

13. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=2x+4y的最小值是    ．

14. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

15. 难度：中等

已知函数（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在上的最大值为1，求a的值．

16. 难度：中等

某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是，乙队获胜的概率是，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：
（Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？
（Ⅱ）组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=1，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的大小；
（Ⅲ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

18. 难度：中等

如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为左准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P作直线与椭圆交于A、B两点，求△ABF面积的最大值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．