2007年北京市崇文区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|-x≤x＜3}，N={x|-1≤x≤4}，则M∩N等于（ ）
A．{x|-4≤x≤-2}
B．{x|-1≤x≤3}
C．{x|0≤x＜3}
D．{x|3＜x≤4}

2. 难度：中等

函数f（x）=2^x+1-3的反函数图象经过Q点，则Q点的一个坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（3，1）
C．（4，2）
D．（5，2）

3. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

4. 难度：中等

将函数的图象按向量平移所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

6. 难度：中等

命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件；命题q：a＞b是ac²＞bc²的充分不必要条件（ ）
A．p真q假
B．p假q真
C．“p或q”为假
D．“p且q”为真

7. 难度：中等

有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（ ）
A．720
B．768
C．960
D．1440

8. 难度：中等

已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆的右焦点，点Q在椭圆上移动，的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、解答题

9. 难度：中等

数列{a_n}中，a_n²=a_n+1•a_n-1（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，a₂=-1，则a₉等于    ．

10. 难度：中等

抛物线的准线方程为    ．

11. 难度：中等

若曲线的某一切线与x轴平行，则切点坐标为     ，切线方程为     ．

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意点，则直线BM与OP所成的角为    ．

13. 难度：中等

若函数处连续，则a=    ，b=    ．

14. 难度：中等

下列函数①；②f（x）=sin²x；③f（x）=2^-|x|；④中，满足“存在与x无关的正常数M，使得|f（x）|≤M对定义域内的一切实数x都成立”的有     ．（把满足条件的函数序号都填上）

15. 难度：中等

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；
（Ⅱ）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击5次后，被中止射击的概率．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n•a_n-1=a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，证明T_n＜．

17. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+cx（a＞0）在x₁，x₂处分别取得极值f（x₁）和f（x₂），且|x₁-x₂|=2，f（x₁）-f（x₂）=x₂-x₁．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

19. 难度：中等

已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F₁、F₂在x轴上，点P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若双曲线C过点Q（2，），B₁、B₂是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且，求直线AB的方程．

20. 难度：中等

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x（a，b）使得=f′（x）”成立．利用这个性质证明x唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．