2007年北京市崇文区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin330°等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₅=10，S₃=3，则（ ）
A．a₁=-2，d=3
B．a₁=2，d=-3
C．a₁=-3，d=2
D．a₁=3，d=-2

3. 难度：中等

“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y+7-a=0平行且不重合”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

在0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数共有（ ）
A．156个
B．108个
C．96个
D．84个

6. 难度：中等

在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A．α、β都垂直于平面r
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

7. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为（ ）
A．20%
B．50%
C．70%
D．80%

二、解答题

9. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

10. 难度：中等

在900个零件中，有一级品400个，二级品300个，三级品200个，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么一级品，二级品，三级品抽取的个数分别为     ．

11. 难度：中等

若球O的半径为2，球面上有两点A，B，且，则A，B两点间的球面距离为    ．

12. 难度：中等

在的展开式中，常数项是    （用数字作答）．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组则x²+y²的最大值等于    ，最小值等于    ．

14. 难度：中等

已知P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹为    ．

15. 难度：中等

甲、乙两台雷达独立工作，在一段时间内，甲台雷达发现飞行目标的概率为0.9，乙台雷达发现飞行目标的概率为0.85，计算在这段时间内，
（Ⅰ）甲、乙两台雷达均未发现目标的概率；
（Ⅱ）至多有一台雷达发现目标的概率．

16. 难度：中等

已知．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

17. 难度：中等

如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k（k＞0）．
（1）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（2）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．

18. 难度：中等

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（1）求AC₁与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角B-AC₁-C的大小；
（3）设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D？并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面积．

20. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且（n∈N^*），数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}与{b_n}的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列{d_n}，证明数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．