2009年北京市崇文区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

由实数a，-a，|a|，所组成的集合里，所含元素个数最多有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

3. 难度：中等

设条件p：a＞0；条件q：a²+a≥0，那么p是q的什么条件（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．非充分非必要条件

4. 难度：中等

若函数则y=f（x）的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

6. 难度：中等

已知椭圆的焦点为F₁，F₂，A在椭圆上，B在F₁A的延长线上，且|AB|=|AF₂|，则B点的轨迹形状为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．两条平行线

7. 难度：中等

若向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．直线x+2y+3=0的一个法向量为（ ）
A．（2，-1）
B．（1，-2）
C．（2，1）
D．（1，2）

8. 难度：中等

如果一个数含有正偶数个数字8，则称它为“优选”数（如12883，787480889），否则称它为“非优选”数（如2348756，958288等），则四位数中所有“优选”数的个数为（ ）
A．459
B．460
C．486
D．487

二、解答题

9. 难度：中等

设（a+b）ⁿ的展开式中，二项式系数的和为256则n=    ；此二项式中系数最大的项是第     项．

10. 难度：中等

已知又曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=a_n+n那么a₁₀₀的值是    ．

12. 难度：中等

如图正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则AD₁与B₁C所成的角为    ；三棱锥B₁-ABC的体积为    ．

13. 难度：中等

（理）已知实数x，y满足约束条件，（a∈R）目标函数z=x+3y，只有当时取得最大值，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维方式．如从指数函数中可抽象出f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）的性质；从对数函数中可抽象出f=f（x₁）+f（x₂）的性质，那么从函数    ．（写出一个具体函数即可）可抽象出f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）的性质．

15. 难度：中等

如图，是函数f₁（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜，B∈R）在同一个周期内的图象．
（I）求函数f₁（x）的解析式；
（II）将函数y=f₁（x）的图象按向量平移，得到函数y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．

16. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

17. 难度：中等

设函数f（x）的导函数为f′（x），若．
（1）a表示f′（1）；
（II）若函数f（x）f在R上存在极值，求a的范围．

18. 难度：中等

某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；
（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．

19. 难度：中等

已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y²=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x，y），求x关于k的函数关系式x=f（k）；若P与M重合时，求x的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的图象经过点（1，n²），n=1，2，…，数列{a_n}为等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n为奇数时，设，是否存在自然数m和M，使得不等式恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．