2009年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7}是（ ）
A．A∪B
B．A∩B
C．∁_U（A∩B）
D．∁_U（A∪B）

2. 难度：中等

函数的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．2π
D．π

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的前项和S_n=n³，则a₅+a₆的值为（ ）
A．91
B．152
C．218
D．279

4. 难度：中等

已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有（ ）
A．480个
B．240个
C．96个
D．48个

6. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

7. 难度：中等

若函数f（x）=cos2x+1的图象按向量平移后，得到的图象关于原点对称，则向量可以是（ ）
A．（1，0）
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₀₉（x）=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是     ．

11. 难度：中等

已知（2^x-）⁹展开式的第7项为，则（x+x²+x³+…+xⁿ）=    ．

12. 难度：中等

如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB=AC，若∠CBD=40°，则∠ABC等于     ．

13. 难度：中等

函数，则=    ，若，则实数a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

某中学为了培养学生的社会实践能力，今年“五•一”长假期间要求学生参加一项社会调查活动．为此，小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭在新工资制度实施后的收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．（收入取整数，单位：元）
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）这50个家庭收入的中位数落在    小组；
（3）请你估算该小区600个家庭中收入较低（不足1400元）的家庭个数大约有多少？

15. 难度：中等

已知向量，，且•．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

16. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

17. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45°的直线被双曲线截得的弦MN的长为6．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与该双曲线交于两个不同点A、B，且以线段AB为直径的圆过原点，求定点Q（0，-1）到直线l的距离d的最大值，并求此时直线l的方程．

20. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______．