2011年高考数学复习：2.12 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=（x-3）e^x的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，2）
B．（0，3）
C．（1，4）
D．（2，+∞）

2. 难度：中等

已知函数f（x）的导数为f′（x）=4x³-4x，且f（x）的图象过点（0，-5），当函数f（x）取得极大值-5时，x的值应为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．±1

3. 难度：中等

若函数f（x）=ax³-3x在（-1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1
B．a≤1
C．0＜a＜1
D．0＜a≤1

4. 难度：中等

若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上不是单调函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）

A．①③
B．②④
C．②③
D．③④

5. 难度：中等

函数f（x）=e^x（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（ ）
A．[，e]
B．（，e）
C．[1，e]
D．（1，e）

6. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x）=f（π-x），且当x∈（-，）时，f（x）=x+sinx，则（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）
B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1）
D．f（3）＜f（1）＜f（2）

二、解答题

7. 难度：中等

f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值，则常数c的值为     ．

8. 难度：中等

若函数f（x）=（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为，则a的值为    ．

9. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，）上不是凸函数的是    ．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

10. 难度：中等

设函数，其中常数a＞1，f（x）=x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

11. 难度：中等

已知函数．
（1）判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值．

12. 难度：中等

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x元（8≤x≤9）时，一年的销售量为（10-x）²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M（a）．