2009年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=1gx}，B{x|x＜1}，则A∪B等于（ ）
A．R
B．{x|0＜x＜1}
C．φ
D．{x|x＞1}

2. 难度：中等

已知，其中i是虚数单位，那么实数a等于（ ）
A．3
B．
C．-3
D．-

3. 难度：中等

已知圆的焦点，G为圆的圆心，则|GF|等于（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0

4. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，在体积为V₁的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有如下四个命题；①BD₁=3AB；②BD₁与底面ABCD所成角是45°；
③；④MN∥平面D₁BC．其中正确命题的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种
B．72种
C．42种
D．36种

7. 难度：中等

设函数f（x）是以2为周期的奇函数，已知x∈（0，1），f（x）=2^x，则f（x）在（1，2）上是（ ）
A．增函数且f（x）＞0
B．减函数且f（x）＜0
C．增函数且f（x）＜0
D．减函数且f（x）＞0

8. 难度：中等

数列{a_n}满足．当a_n取得最大值时n等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、解答题

9. 难度：中等

的值等于    ．

10. 难度：中等

设，若，则=    ．

11. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+…+a_nxⁿ，且a+a₁+…+a_n=62，则（x+2）ⁿ的展开式共有     项．

12. 难度：中等

已知点P（2，-3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是    ．

13. 难度：中等

已知以下条件：①；②；③；④．若四边形ABCD是矩形，则需要条件     （注：填上你认为正确条件的序号即可，不必考虑所有可能有的情形）．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|+（x＞0），若f（x）≥恒成立，则是    ．

15. 难度：中等

对某型号1000只灯泡的使用寿命（单位：小时）统计如下表所示：
（1）从这1000只灯泡中任选1只，求该灯泡寿命不足1500小时的概率；
（2）从这1000只灯泡中任选3只灯泡，求至多有2只灯泡寿命不足1500小时的概率．

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
（I）求角A；
（II）若a=2，求△ABC面积S的最大值．

17. 难度：中等

已知函数g（x）=（a-2）x（x＞-1），函数f（x）=ln（1+x）+bx的图象如图所示．
（I）求b的值；
（II）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间．

18. 难度：中等

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形．
（I）求证点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
（II）求当A′E⊥BD时△A′DE所转过的角的大小．

19. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（I）若M是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列是等差数列，公差为2，a₁，=11，a_n+1=λa_n+b_n．
（I）用λ表示b_n；
（II）若的值；
（III）在（II）条件下，求数列{a_n}的前n项和．