2009-2010学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）5月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，则M∪N=（ ）
A．∅
B．{x|x≥-3}
C．{x|x≥1}
D．{x|x＜1}

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则（1+i）^x+y的值为（ ）
A．4
B．-4
C．4+4i
D．2i

3. 难度：中等

一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．
其中正确的是（ ）

A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

4. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e₁、e₂、e₃、e₄，其大小关系为（ ）

A．e₁＜e₂＜e₄＜e₃
B．e₁＜e₂＜e₃＜e₄
C．e₂＜e₁＜e₃＜e₄
D．e₂＜e₁＜e₄＜e₃

6. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增
B．函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期为2π
C．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形
D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形

7. 难度：中等

已知命题p：函数在区间（0，+∞）上单调递减；q：双曲线的左焦点到抛物线y=4x²的准线的距离为2．则下列命题正确的是（ ）
A．p∨q
B．p∧q
C．（^¬p）∧q
D．q

8. 难度：中等

正项等比数列{a_n}的公比q≠1，且a₂，，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．或
B．
C．
D．

9. 难度：中等

掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p₁，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p₂，则（ ）
A．p₁＜p₂
B．p₁＞p₂
C．p₁=p₂
D．不能确定

10. 难度：中等

一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π

11. 难度：中等

α在第三、四象限，的取值范围是（ ）
A．（-1，0）
B．（-1，）
C．（-1，）
D．（-1，1）

12. 难度：中等

设a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），定义一种向量积：a⊗b=（a₁，b₁）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知m=，n=，点P（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（x，f（x））=m⊗n（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别（ ）
A．2，π
B．2，4π
C．，4π
D．，π

二、解答题

13. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是     ．

15. 难度：中等

已知m∈[1，6]，n∈[1，6]，则函数y=mx³-nx+1在[1，+∝）上为增函数的概率是    ．

16. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

18. 难度：中等

在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）求证：D点为棱BB₁的中点；
（Ⅱ）判断四棱锥A₁-B₁C₁CD和C-A₁ABD的体积是否相等，并证明．

20. 难度：中等

如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∝]内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（3）对于函数g（x）=（p-x）e^-x+1，若存在x∈[1，e]，使不等式g（x）≥lnx成立，求实数p的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

23. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

24. 难度：中等

关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？