2010年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-2i
B．2i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，2^x＞0，那么命题¬p为（ ）
A．∃x∈R，2^x＜0
B．∀x∈R，2^x＜0
C．∃x∈R，2^x≤0
D．∀x∈R，2^x≤0

3. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

4. 难度：中等

一个几何体的三视图为右图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．10
B．30
C．60
D．45

5. 难度：中等

经过点P（2，-3）作圆（x+1）²+y²=25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x-y-5=0
B．x-y+5=0
C．x+y+5=0
D．x+y-5=0

6. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和（n∈N^*）
B．求数列的前10项和（n∈N^*）
C．求数列的前11项和（n∈N^*）
D．求数列的前11项和（n∈N^*）

7. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=-log₂x，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0．若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＜b；③d＜c；④d＞c中有可能成立的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

二项式的展开式中的常数项为     ，展开式中各项系数和为     ．（用数字作答）

10. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线C的普通方程是    ；

11. 难度：中等

如图，已知PE是圆O的切线．直线PB交圆O于A、B两点，PA=4，AB=12，．则PE的长为    ，∠ABE的大小为    °．

12. 难度：中等

某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后，画出部分频率分布直方图（如图），那么化学成绩在[70，80）的学生人数为    ．

13. 难度：中等

函数y=cos²x-sin²x+2sinx•cosx的最小正周期为     ，此函数的值域为     ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为    ．（将所有正确的命题序号填在横线上）

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，，．
（Ⅰ）求sin（A+B）的值；
（Ⅱ）求sinA的值；
（Ⅲ）求的值．

16. 难度：中等

如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的和．某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分．先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动．
（Ⅰ）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？
（Ⅱ）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由．

17. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁．

18. 难度：中等

数列a_n中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设，证明{b_{n ^}}是等差数列；
（3）求数列{a_n^}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．