2008年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A，B，C是三个集合，那么“A=B”是“A∩C=B∩C”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

2. 难度：中等

若平面向量与向量=（1，-2）的夹角是180°，且，则=（ ）
A．（-3，6）
B．（3，-6）
C．（6，-3）
D．（-6，3）

3. 难度：中等

一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A．
B．4π
C．8π
D．12π

4. 难度：中等

已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

从湖中打一网鱼，共m条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n条，其中有k条有记号，则能估计湖中有鱼（ ）
A．条
B．条
C．条
D．条

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）与y=log₅x的图象的交点个数为（ ）
A．0个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、解答题

9. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数的取法共有     种（用数字作答）．

10. 难度：中等

复数的虚部为     ．

11. 难度：中等

展开式中x⁹的系数是    ，所有项的系数和是    ．

12. 难度：中等

若，则a=    ，=    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为-6，则常数k=    ．

14. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

15. 难度：中等

已知函数（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在上的最大值与最小值之和为，求a的值．

16. 难度：中等

某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是，乙队获胜的概率是，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：
（Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？
（Ⅱ）设ξ为组织者在总决赛中获得的门票收入数，求ξ的分布列．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=1，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的大小；
（Ⅲ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

19. 难度：中等

过点P（2，4）的直线l与双曲线C：交于A、B两点，且．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）过线段AB上的点作曲线y=x²+8x+12的切线，求切点横坐标的取值范围；
（Ⅲ）若过P的另一直线l₁与双曲线交于C、D两点，且，则∠ACD=∠ABD一定成立吗？证明你的结论．

20. 难度：中等

已知函数（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂，总有不等式成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．