2008年湖南省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．8
B．-8
C．8i
D．-8i

2. 难度：中等

“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．8

4. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c-1），则c=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

6. 难度：中等

函数在区间上的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．1+

7. 难度：中等

设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（ ）
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直

8. 难度：中等

若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，5）
D．（5，+∞）

9. 难度：中等

（文）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA₁=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N^*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数C₈^x的值域是（ ）
A．
B．
C．[28，56）
D．

二、解答题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A（0，b）作AM⊥l，垂足为M，则直线FM的斜率等于     ．

13. 难度：中等

设函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）-x的图象一定过点    ．

14. 难度：中等

已知函数（a≠1）．
（1）若a＞0，则f（x）的定义域是    ；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

10个相同的小球分给3个人，每人至少2个，有    种分法．

16. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

18. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：当n≥6时，|S_n-2|＜．

19. 难度：中等

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

20. 难度：中等

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x＞2．
（I）证明：点P（x，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x表示）：若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对任意的n∈rmN^*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．