2010年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|x＞1}，则集合A∩∁_UB等于（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|-1＜x≤1}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₂=3，a₃=9，若a_k=243，则k等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．42

3. 难度：中等

设向量，，则“x=2”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出地结果S等于（ ）
A．3
B．7
C．11
D．13

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①∃x∈Z，使5x+1=0成立；
②已知命题p：∀x∈R，2^x＞0，那么命题¬p为：∃x∈R，使2^x＜0；
③若两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行；
④若两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行．其中真命题个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若a∈[0，3]，b∈[0，2]，函数f（x）=x²-2ax+b²有零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

二、解答题

9. 难度：中等

已知复数为纯虚数，则a=    ．

10. 难度：中等

圆C的极坐标方程p=2cosθ化为直角坐标方程为    ，该圆的面积为    ．

11. 难度：中等

已知函数的图象关于原点对称，则b=    ．

12. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，PA=4，PBC过圆心0，且与圆相交于B、C两点，AB：AC=1：2，则⊙O的半径为    ．

13. 难度：中等

已知函数，且f（x）=3，则x=    ．

14. 难度：中等

用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）=    ；g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1）=    ．

15. 难度：中等

如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC=α．
（Ⅰ）求圆O的半径及C点的坐标；
（Ⅱ）若|BC|=1，求的值．

16. 难度：中等

如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

17. 难度：中等

从参加高三年级期中考试的学生中随机抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅱ）从上述40名学生中随机抽取2人，求这2人成绩都在[70，80）的概率；
（Ⅲ）从上述40名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60），记为0分，在[60，100]，记为1分．用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤-1，若∀x₁∈[0，1]，总存在，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C的两个焦点，A、B为过F₁的直线与椭圆的交点，且△F₂AB的周长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由．

20. 难度：中等

若数列{a_n}（n∈N^*）满足：（1）a_n≥0；（2）a_n-2a_n+1+a_n+2≥0；
（3）a₁+a₂+…+a_n≤1，则称数列{a_n}为“和谐”数列．
（Ⅰ）验证数列{a_n}，{b_n}，其中，是否为“和谐”数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}为“和谐”数列，证明：．