2004年上海市春季高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足z（1+i）=2，则z的实部是    ．

2. 难度：中等

方程lgx+lg（x+3）=1的解x=    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A=105°，∠B=45°，，则c=    ．

4. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程是     ．

5. 难度：中等

已知函数，则方程f^-1（x）=4的解x=    ．

6. 难度：中等

如图，在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是，则侧棱VA与底面所成角的大小为arcsin．（结果用反三角函数值表示）

7. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=3，且对任意大于1的正整数n，点在直线上，则a_n=    ．

8. 难度：中等

根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有    个点．

9. 难度：中等

一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是    ．（结果用分数表示）

10. 难度：中等

若平移椭圆4（x+3）²+9y²=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是    ．

11. 难度：中等

如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第    行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．

12. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，当a_r=a_s（r≠s）时，{a_n}必定是常数数列．然而在等比数列{a_n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a_r=a_s时，非常数数列{a_n}的一个例子是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A．y=1-2sin²π
B．
C．
D．y=sinπxcosπ

14. 难度：中等

若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

15. 难度：中等

在△ABC中，有命题
①；
②；
③若，则△ABC为等腰三角形；
④若，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④

16. 难度：中等

若（a＞0），q=arccost（-1≤t≤1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．p≥π＞q
B．p＞q≥0
C．4＞p≥q
D．p≥q＞0

三、解答题

17. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2）和点Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量与垂直，求x的值．

18. 难度：中等

已知实数p满足不等式＜0，试判断方程z²-2z+5-p²=0有无实根，并给出证明．

19. 难度：中等

某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
（1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？

20. 难度：中等

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．
（1）求证：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：．

22. 难度：中等

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，B在第一象限，．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线（a＞0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；
（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．